granica ciagow

[gazda]

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\frac{(n+1)!-n!}{(n+1)!+n!}}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n}}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{3^{n}}}}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+...+a_{k}^{n}}}\)

[LecHu :)]

1.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to0}\frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)}=0}\)
2.Jak podstawisz za n 0 to wyjdzie 1.

[gazda]

wlasnie w pierwszym mi wyszlo 1 a w ksiazce mam odpowiedz\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) pewnie sie w wydawnictwie pomylili:P, pomoze mi ktos z reszta?(:

[d(-_-)b]

w pierwszym powinno wyjść \(\displaystyle{ 0}\)

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to0}\frac{n!*n}{n!(n+2)}= \lim\limits_{n\to0}\frac{n}{n+2}=\lim\limits_{n\to0}\frac{n}{n(1+\frac{2}{n})}=\lim\limits_{n\to0}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=0}\)

przyjrzyj się dokładnie to napisałeś Ty \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to0}\frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)}}\)

[LecHu :)]

d(-_-)b to co napisałeś to nie to samo co podał gazda.

[gazda]

d(-_-)b czemu tam ma byc 0 a nie 1?

[luka52]

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to0}\frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)}=\lim\limits_{n\to0}\frac{n+1-1}{n+1+1} = 0}\)
bo n+1-1, gdy n->0 to 0+1-1.

[LecHu :)]

Cały czas wydawało mi się, żę n--> nieskończoności. Sory.

[gazda]

w morde strzelil ale pomylka, mialo byc oczywiscie n->nieskonczonosci

[d(-_-)b]

2) \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to }\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n}}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{3^{n}}} =...}\)

\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2}\)

\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}}\)

korzystałem tu ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1}{1-q}}\)


\(\displaystyle{ ...=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}}\)

[LecHu :)]

W ostatnim chyba granicą będzie \(\displaystyle{ a_{n}}\) jeżeli n--->∞

[max]

3.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})^{n}} \leq \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + ... + a_{k}^{n}} \leq \sqrt[n]{k\cdot \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})^{n}}\\
\max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}) \leq \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + ... + a_{k}^{n}} \leq \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})\cdot\sqrt[n]{k}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to\infty } \sqrt[n]{k} = 1}\), to
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to\infty } \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})\cdot\sqrt[n]{k} = \lim\limits_{n \to\infty } \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}) = \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})}\)
Korzystając z tw o trzech ciągach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+...+a_{k}^{n}} = \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})}\)