[Łańcut] XXII Konkurs Matematyczny im. Prof. J. Marszała

[Uzo]

No więc dziś odbył się etap powiatowy tego konkursu Braliście może w nim udział ? Co sądzicie o zadaniach? Ja mam tylko zadania dla klas trzecich, więc tylko takie tu mogę zamieścić , jeżeli macie dla klas pierwszych i drugich to je zapodajce

zad.1
Znaleźć taką liczbe rzeczywistą m, dla której iloczyn pewnych dwóch pierwiastków rzeczywistych równania \(\displaystyle{ 2x^{4}-7x^{3}+mx^{2}+22x-8=0}\) wynosi 2.

zad.2
Na płaszyźnie danych jest sześć równych okręgów o promieniu długości r i jeden okrąg o danym promieniu długości R. Każdy z sześciu równych okręgów jest styczny zewnętrznie do dwóch innych spośród nich i styczny wewnętrznie do okręgu o promieniu R. Wyznacz długość promienia r.

zad.3
Udowodnić,że jeżeli xyz=1, \(\displaystyle{ a=x+\frac{1}{x}, \: b=y+\frac{1}{y}, \: c=z+\frac{1}{z}}\) i abc jest liczbą całkowitą, to a�+b�+c� jest liczbą całkowitą.

Możecie je tu śmiało rozwiązać

[Tristan]

Zad.3
Założenia są znane. Teza jest taka: \(\displaystyle{ (a^2 +b^2+ c^2) \mathbb{Z}}\).
Policzmy wpierw ile wynosi \(\displaystyle{ abc}\):
\(\displaystyle{ abc=(x+ \frac{1}{x})(y+ \frac{1}{y} )(z+ \frac{1}{z})=xyz+ \frac{1}{xyz} + \frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}}\)
Z założenia mamy, że \(\displaystyle{ xyz=1}\), więc:
\(\displaystyle{ abc=2+ \frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}}\)
Również z założenia mamy, że \(\displaystyle{ yz=\frac{1}{x}, xz=\frac{1}{y}, xy=\frac{1}{z}}\). Podstawiając otrzymujemy:
\(\displaystyle{ abc=2+ \frac{ \frac{1}{x}}{x}+ \frac{ \frac{1}{y}}{y} + \frac{ \frac{1}{z}}{z} + \frac{ x}{ \frac{1}{x}}+ \frac{y}{ \frac{1}{y}} + \frac{ z}{ \frac{1}{z}}=2+ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} + x^2+y^2+z^2}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ abc \mathbb{Z}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2 \mathbb{Z}}\), więc \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} + x^2+y^2+z^2 \mathbb{Z}}\).
Policzmy więc, ile wynosi \(\displaystyle{ a^2 +b^2+ c^2}\):
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=(x+\frac{1}{x})^2 + (y+ \frac{1}{y})^2 + (z+\frac{1}{z})^2=6+ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} + x^2+y^2+z^2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 6 \mathbb{Z}}\) oraz dalsza część sumy również należy do zbioru liczb całkowitych, co wcześniej wykazaliśmy, więc istotnie \(\displaystyle{ a^2 +b^2+c^2 \mathbb{Z}}\) cnd.

[DEXiu]

Może się czepiam, ale okręgi równe nie mogą być styczne zewnętrznie (wewnętrznie zresztą też) - w końcu są równe, czyli nakładają się

[jaskolek]

Na poczatku sie przywitam bo 1 post na forum;)

Ja startowalem jako 1LO;) zadania napisze z pamieci wiec moga byc bledy ale wątpie:P

zad 1.
Udowodnij ze różnica \(\displaystyle{ 43^{43} - 17^{17}}\) jest podzielna przez 10

zad 2.

Na płaszczyśnie obrano 2006 różnych punktów. Udowodnić, że na dowolnym okręgu o promieniu 1 na tej płaszczyźnie istnieje taki punkt \(\displaystyle{ B}\) że \(\displaystyle{ |A_{1}B| + |A_{2}B| + ... + |A_{2006}B| q 2006}\)

zad 3.

Dla jakich parametrów m równanie \(\displaystyle{ |x - 1| = (m - 1)^{2}}\) posiada 2 pierwiastki rzeczywiste o różnych znakach.



Ogolnei to raczej dobrze napisalem... 1 i 3 zadanie zrobilem w jakas godizne ale zato 2 mi zajelo troche wiecej i i tak nie jestem pewien czy dobrze...
Jak mozecie to rozwiazcie tu zadania(szczegolnie 2)

ps. wie ktos kiedy wyniki?;p

[Tristan]

Zad.1
\(\displaystyle{ 43 \equiv 3 ( mod\ 10) \\ 43^{43} \equiv 3^{43} (mod\ 10) \\ 3^2 \equiv -1 (mod\ 10) \\ 3^{42} \equiv ( -1)^{21}=-1 (mod\ 10) \\ 3^43 \equiv (-1) 3=-3 (mod\10) \\ 43^{43} \equiv -3 (mod\ 10)}\)
Drugie szybko się liczy, jeśli się zna funkcję Eulera ( zwaną też funkcją Gassa). Mamy, że \(\displaystyle{ 17^{ \phi(10) } \equiv 1( mod\ 10) \\ \phi(10)=\phi(2 5)=\phi(2) \phi(5)=1 4=4 \\ 17^{4} \equiv 1 (mod\ 10) \\ 17^{16} \equiv 1^4=1 ( mod\ 10) \\ 17^{17} \equiv 1 17 \equiv 7 (mod\ 10)}\)
Ostatecznie mamy \(\displaystyle{ 43^{43} - 17^{17} \equiv -3-7=-10 \equiv 0 (mod\ 10)}\)

[DEXiu]

Zadanie 3 z zestawu jaskoleka jest na tyle proste, że chyba nie ma sensu rozwiązywać. Za to wydaje mi się, że zadanie 2 albo źle przepisane, albo jakiś błąd w zadaniu (nie powinno być czasem na dowolnym okręgu o promieniu 1?)
Tristan == A Ty już nie szpanuj tym Eulero-Gaussem

[jaskolek]

Za to wydaje mi się, że zadanie 2 albo źle przepisane, albo jakiś błąd w zadaniu (nie powinno być czasem na dowolnym okręgu o promieniu 1?)

Masz racje;) to ja pomylilem sie w pisaniu... juz poprawiam.

[Uzo]

a moglby mi ktos pyknac pierwsze i drugie zadanie z klas trzecich ?

[Rogal]

Pierwsze się 'pyka' ze wzorów Viete'a ; ).
A ponieważ jest dość miłe, to nie będę Ci psuł przyjemności własnoręcznie robiąc. Mnie m wyszło -9.

A tak swoją drogą to fajne macie te konkursy - mam książkę z zadaniami z lat poprzednich - bardzo dobry wstęp do OMa : )

[Voover]

a moglby mi ktos pyknac pierwsze i drugie zadanie z klas trzecich ?

Ja pierwsze zrobiłem tak: \(\displaystyle{ W(x)=2(x^2+ax+2)(x^2+bx-2)}\)
Później wymnażam, porównuję współczynniki i ładnie wychodzi m=-9

W drugim wystarczy rysunek, i zadanie jest praktycznie rozwiązane ;D

[Uzo]

spoko spoko, szkoda ,ze ja dopiero teraz dochodze do pewnych przemyslen ??: a to drugie to mozna bylo tylko na jeden sposób zrobić ?

[qsiarz]

mozna rowniez bez rysunku wydedukowac ze R=3r

[Uzo]

Są już wyniki tego konkursu?? Brał ktoś w ogóle stąd udział w finale

[TiWi]

Są już wyniki tego konkursu?? Brał ktoś w ogóle stąd udział w finale

Mam właśnie przyjemność mieć pierwsze miejsce

[Uzo]

Mam właśnie przyjemność mieć pierwsze miejsce

Gratuluje
a kiedy było ogłoszenie wyników? są gdzieś w necie ?