kilka zadań: granice ciągów

Herurgaldir · Post autor: **Herurgaldir** » 21 gru 2006, o 23:21

mam kilka zadań do rozwiązania. nie mam rozwiązań, a chciałbym porównać przy okazji wyniki. byłbym chętny również za komentarz, bo nie jestem w tym biegły. dziękuję:).

a) \(\displaystyle{ a_n=\frac{ln(1+\frac{3}{n})}{\frac{1}{n}}}\)

b) \(\displaystyle{ b_n=(\frac{n^2+3}{n^2+1})^{2n^5+5}}\)

c) \(\displaystyle{ c_n=\sqrt[n]{(\frac{11}{2006})^{n}+[(\frac{11}{27})^{n}]}}\)

d) \(\displaystyle{ d_n=\frac{{n+2\choose n}}{n^2}}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 21 gru 2006, o 23:54

C) to trzy ciagi
a,b - to sa liczby pod pierwiastkiem
a>b>0
a

Post autor: **bolo** » 21 gru 2006, o 23:58

Ad. a) daj \(\displaystyle{ n}\) zmianownika do potęgi liczby logarytmowanej

Ad. b) dokonaj przekształceń zmierzających do otrzymania granicy postaci \(\displaystyle{ e^{a}}\)

Ad. d) rozpisz ten symbol Newtona, później przekształć np. \(\displaystyle{ (n+2)!}\) w \(\displaystyle{ n!(n+1)(n+2)}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 21 gru 2006, o 23:59

c) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{(\frac{11}{27})^{n}} < \sqrt[n]{(\frac{11}{2006})^{n}+(\frac{11}{27})^{n}} < \sqrt[n]{(\frac{11}{27})^{n} + (\frac{11}{27})^{n}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{11}{27} < \sqrt[n]{(\frac{11}{2006})^{n}+(\frac{11}{27})^{n}} < \sqrt[n]{2 (\frac{11}{27})^{n}}}\)

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 22 gru 2006, o 00:01

tak na szybko to mi w pierwszym 3 wychodzi...

to jest tak z twierdzenia de l'Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{ln(1+ \frac{3}{n})}{\frac{1}{n}}= \lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2}{n^2+n}=3}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 22 gru 2006, o 00:02

\(\displaystyle{ \frac{11}{27} < \sqrt[n]{(\frac{11}{2006})^{n}+(\frac{11}{27})^{n}} < \sqrt[n]{2 (\frac{11}{27})^{n}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{11}{27} < \sqrt[n]{(\frac{11}{2006})^{n}+(\frac{11}{27})^{n}} < \sqrt[n]{2} (\frac{11}{27})}\)

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 22 gru 2006, o 00:03

w b) wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\) o ile sie nie myle...

sushi · Post autor: **sushi** » 22 gru 2006, o 00:05

oczywiście ,ze tak wychodzi

\(\displaystyle{ e^{n^3}---> }\)

[ Dodano: 22 Grudzień 2006, 00:06 ]
d) połóweczka

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 22 gru 2006, o 00:10

c) to bym policzył troche inaczej bo trzeba zauważyć że tam jest część całkowita... nie można jej sobie ominąć.. w każdym razie \(\displaystyle{ [(\frac{11}{27})^n]=0}\) więc można pominąć a w d) wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

jeszcze mam pytanie.. to są zadania z kolokwium z analizy na pierwszym roku uamu tak??

[ Dodano: 22 Grudzień 2006, 00:11 ]
a c) to bym powiedział \(\displaystyle{ \frac{11}{2006}}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 22 gru 2006, o 11:31

mylisz sie Mostostalek co do przykładu c)

tu pracuje twierdzenie o 3 ciągach
ktora liczba jest całkowita - tj ma cześci całkowite 11/27 czy 11/2006
ktora z nich jest wieksza ??

a granica \(\displaystyle{ \sqrt[n] {2} ======1}\)
wiec po obu stronach jest 11/27 wiec nasz ciag wyjsciowy tez daży do 11/27

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 22 gru 2006, o 11:52

jeśli brać pod uwage coś takiego to oczywiście masz racje

tylko zauważ że \(\displaystyle{ [ ]}\) oznacza tutaj część całkowitą z liczby... zatem tak jak wcześniej napisałem \(\displaystyle{ [(\frac{11}{27})^n]=0}\)... dlatego mamy :
\(\displaystyle{ c_n=\sqrt[n]{(\frac{11}{2006})^{n}+0}}\)

czyli zgodzisz się ze mną że teraz ta granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{11}{2006}}\)

to są zadania z kolokwium na moim uniwersytecie i znam wyniki

sushi · Post autor: **sushi** » 22 gru 2006, o 11:57

nigdzie nie było napisane, ze [] oznaczaja całość z liczby !!!!

Post autor: **yorgin** » 22 gru 2006, o 12:05

sushi pisze:nigdzie nie było napisane, ze [] oznaczaja całość z liczby !!!!

Wcale nie musi tak pisać by to stwierdzić. Każdy (no prawie) wie że ten symbol oznacza część całkowitą z liczby. Także i ja twierdzę że \(\displaystyle{ c_n {11 \over 2006}}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 22 gru 2006, o 12:15

a jak napisze takie cos :
(((2+4)^{4+6})*(5-6*4)+65)*857 to czytelniej nie bedzie taki zapis

{ [(2+4)^{4+6}]*(5-6*4)+65}*857 ???

Post autor: **yorgin** » 22 gru 2006, o 12:21

sushi pisze:a jak napisze takie cos :
(((2+4)^{4+6})*(5-6*4)+65)*857 to czytelniej nie bedzie taki zapis

{ [(2+4)^{4+6}]*(5-6*4)+65}*857 ???

Pozwolę sobie zauważyć że pod pierwiastkiem nie mamy aż tylu nawiasów. Zwykłe nawiasy są przy liczbach potęgowanych. Jak usuniesz nawias kwadratowy, nie pogorszy Ci się czytelność tego wyrażenia (wnioskuję to na podstawie tego co napisałeś). Tak więc ten nawias nie stoi tam dla poprawienia czytelności zapisu.
Rety kłótnia o nawiasy... Oczywiste jest znaczenie tego nawiasu jako funkcji wyrażającej część całkowitą z liczby. Nie rozumiem dlaczego się upierasz tak