\(\displaystyle{ (2n + 1) + (2n + 3) + ... +(4n - 1) = 3n^{2}}\) dla \(\displaystyle{ n q 1}\).
Sume mozna tez zapisac w postaci
\(\displaystyle{ \sum\limits_{i=n}^{2n - 1}2i + 1}\)
Udowodnij równanie
-
sushi
- Użytkownik
- Posty: 3422
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
Udowodnij równanie
najpierw trzeba zauwazyc takie cos:
n=2---> 5+7
n=3---> 7+9+11
n=4---> 9+11+13+15
zwiekszajac o 1 "n" gubimy pierwszy wyraz i dostajemy dwa kolejne, zatem by moc korzystac z załozenia indukcyjnego
(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+...+(4n-1)=3n*n -->zał. in
(2(n+1)+1)+(2(n+1)+3)+...+(4(n+1)-1)=3(n+1)*(n+1) -->to pokazac
(2n+3)+(2n+5)+...+(4n-1)+(4n+1)+(4n+3)=3(n+1)*(n+1) -->to pokazac
(2n+1)+ (2n+3)+(2n+5)+...+(4n-1) +(4n+1)+(4n+3)- (2n+1)===3*n*n + (4n+1)+(4n+3)- (2n+1) = ===3*n*n + 6n+ 3 =3(n*n+2n+1)=3(n+1)(n+1)
n=2---> 5+7
n=3---> 7+9+11
n=4---> 9+11+13+15
zwiekszajac o 1 "n" gubimy pierwszy wyraz i dostajemy dwa kolejne, zatem by moc korzystac z załozenia indukcyjnego
(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+...+(4n-1)=3n*n -->zał. in
(2(n+1)+1)+(2(n+1)+3)+...+(4(n+1)-1)=3(n+1)*(n+1) -->to pokazac
(2n+3)+(2n+5)+...+(4n-1)+(4n+1)+(4n+3)=3(n+1)*(n+1) -->to pokazac
(2n+1)+ (2n+3)+(2n+5)+...+(4n-1) +(4n+1)+(4n+3)- (2n+1)===3*n*n + (4n+1)+(4n+3)- (2n+1) = ===3*n*n + 6n+ 3 =3(n*n+2n+1)=3(n+1)(n+1)