Udowodnij nierówność

[solarq]

Niech:

\(\displaystyle{ 1}\)

[Piotr Rutkowski]

Zauważ, że jeden z tych ciągów (\(\displaystyle{ f_{n+1}}\)) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów, natomiast drugi z nich (\(\displaystyle{ g_{n+1}}\)) jest średnią harmoniczną z tych samych dwóch wyrazów. Skoro te dwa wyrazy nie są równe, to od razu masz, że \(\displaystyle{ f_{n+1} q g_{n+1}}\) (z nierówności pomiędzy średnimi). Za tą drugą część się zaraz wezmę, bo wygląda w miarę ciekawie. Jeszcze jedną interesującą rzeczą na temat tych ciągów, jest to, że mają one granicę w średniej geometrycznej. Nad tą drugą częścią zadania jeszcze popracuję.