2 zadania z monotoniczności

[PanDragon]

1. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest okreslona wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}}}\). Korzystając z definicji funkcji rosnacej udowodnij, ze funkcja jest rosnaca w przedziale \(\displaystyle{ (- , 0)}\).

2. Wykaż, ze jezeli funkcje \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ h}\) sa okreslone w tym samym zbiorze i sa rosnące, to funkcja okreslona wzorem \(\displaystyle{ f(x)=g(x)+h(x)}\) jest rosnąca.

Prosze o pomoc

[sushi]

def mówi, ze f rosnie gdy: x1>x2 to f(x1)>f(x2)
i dalej trzeba pokazac
\(\displaystyle{ f(x_1) = \frac {{x_1}^3+1}{{x_1}^2}}\)
\(\displaystyle{ f(x_2) = \frac {{x_2}^3+1}{{x_2}^2}}\)

oba x1 i x2 sa ujemne zatem x1>x2 pociaga ze
\(\displaystyle{ {x_1}^2< {x_2}^2}\);
1. \(\displaystyle{ \frac{1}{{x_1}^2}> \frac{1}{ {x_2}^2 }}\) - obie strony sa dodatnie
\(\displaystyle{ {x_1}^3> {x_2}^3}\)
2.\(\displaystyle{ {x_1}^3 +1> {x_2}^3 +1}\)-

mnozymy stronami 1. i 2. i dostajemy to co chcielismy

[max]

mnozymy stronami 1. i 2. i dostajemy to co chcielismy

Z tym mnożeniem nierówności stronami to ostrożnie, bo nie możemy sprecyzować znaku obu stron drugiego równania.
Zamiast tego można standardowo obliczyć różnicę \(\displaystyle{ f(x_{1}) - f(x_{2})}\) i sprawdzić czy jest większa od zera.

2. Chyba chodziło o to, że funkcje \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ h}\) są określone na tym samym zbiorze i rosnące?

Weżmy tedy z dziedziny owych funkcji dowolne liczby \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{1} > x_{2}}\) i z definicji funkcji rosnącej mamy:
\(\displaystyle{ g(x_{1}) > g(x_{2})}\)
oraz
\(\displaystyle{ h(x_{1}) > h(x_{2})}\)
Dodajemy stronami otrzymując:
\(\displaystyle{ g(x_{1}) + h(x_{1}) > g(x_{2}) + h(x_{2})}\)
Czyli
\(\displaystyle{ f(x_{1}) > f(x_{2})}\)
Zatem z definicji funkcji rosnącej wynika, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest taką funkcją

[sushi]

2 mnozymy przez 1. gdzie obie strony sa dodatnie , wiec znak zostaje ten sam

[ Dodano: 20 Grudzień 2006, 18:42 ]
2. - > - lub + > - lub + > + wiec nie ma mowy o tym by znak potem sie nie zgadzał