Udowodnij nierowność

Aramil · Post autor: **Aramil** » 18 gru 2006, o 18:58

liczby a b c sa dodatnie i spelniaja warunek \(\displaystyle{ ab + bc + ca > a + b + c}\) udowodnij , ze \(\displaystyle{ a+b+c>3}\)

Czesio · Post autor: **Czesio** » 18 gru 2006, o 19:48

Mnożymy nierówności przez siebie. Udowodnimy, nierówność mocniejszą:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(a+b+c)>3(ab+bc+ac)}\) (dlaczego mogę tak zrobić?...)
A to się zwija do:
\(\displaystyle{ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>0}\), ale liczby a,b,c nie są sobie równe.
c.b.d.u.

Aramil · Post autor: **Aramil** » 18 gru 2006, o 20:24

Hmm sadze ze tam jest blad poniewaz gdy pomnozymy nierownosci przez siebie to otrzymamy:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(ab+bc+ca)>3(a+b+c)}\) a nie to co napisales. chyba ze tam jest jakis sprytny chwyt ktorego nie zauwazam : /

Czesio · Post autor: **Czesio** » 18 gru 2006, o 20:31

Trik jest taki, że nie możemy wymnożyć tak jak Ty napisałeś, bo byśmy mnożyli dwie "większe" strony przez siebie. Modyfikowalibyśmy teze. A ja ją wzmocniłem mnożąc prawą stronę nierówności (2) przez liczbę mniejszą od tej którą wymnożyłem stronę lewę. Trochę to pogmatwane, ale mam nadzieje, że czaisz bazę.

Aramil · Post autor: **Aramil** » 18 gru 2006, o 20:36

czaje ale czy jestes pewien ze mozemy tak mnozyc?

Czesio · Post autor: **Czesio** » 18 gru 2006, o 22:15

W tę mańkie możemy [/b]

Aramil · Post autor: **Aramil** » 18 gru 2006, o 22:29

stary do dzisiaj nie wiedzialem ze mozna takie myki robic sadzilem , ze trzeba uzyc jakiegos blyskotliwego triku. teraz zadanie jest banalne. dzieki. a i jeszcze jedno przy tego rodzaju zadaniach takie przemnozenie jest czesto skuteczne?

Czesio · Post autor: **Czesio** » 18 gru 2006, o 22:58

Szczerze mówiąc nie.

mastermind · Post autor: **mastermind** » 18 gru 2006, o 23:37

oż, co wy tu wyrabiacie ?

Mamy ab+bc+ac>a+b+c. To cos MOZEMY przemnozyc przez (a+b+c). mamy (a+b+c)(ab+bc+ac)>(a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac). Pozostaje podzielic przez ab+bc+ac => a+b+c>3. Finito.

pzdr Michal

Czesio · Post autor: **Czesio** » 19 gru 2006, o 07:11

Przeciez to to samo, tylko nie udowodniles swojej drugiej nierównośći, a ja tak .