4 dowody (podzielność)

[PanDragon]

1. Wykaż, ze dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n^{5} - n}\) jest podzielna przez 30

2. Wykaż, ze jesli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą wieksza od 3, to \(\displaystyle{ p^{2} - 1}\) jest liczbą podzielną przez 24.

3. Wykaż, ze jeżeli liczba \(\displaystyle{ n}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba \(\displaystyle{ 5n}\) również ma tę własność.

4. Wykaż, ze jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ xy+yz+zx q 0}\).

Z góry dziekuje za pomoc

[LecHu :)]

1.Bardziej elementarny sposób niż indukcja:
\(\displaystyle{ n^{5}-n=n(n^{2}-1)(n^{2}+1)=(n-1)n(n+1)(n^{2}+1)}\)
n-1, n, n+1 to 3 kolejne liczby całkowite, więc dzielą się przez 3! czyli 6. Pozostaje nam tylko udowodnić, że całe wyrażenie będzie też podzielne przez 5.
n przy dzieleniu przez 5 może dać reszty:0,1,2,3,4
Kiedy reszta wyniesie 0 to koniec zadania
Kiedy reszta wyniesie 1 to n-1 będzie podzielne przez 5
Kiedy reszta wyniesie 2 to x�+1 będzie podzielne przez pięć (tu do dowodu można użyć kongruencji)
Kiedy reszta wyniesie trzy to znowu x�+1 będzie podzielne (dowód: kongruencja)
Kiedy reszta wyniesie 4 to n+1 będzie podzielne przez 5.
2.Trzeba jeszcze założyć, że p jest większe od 3.
\(\displaystyle{ p^{2}-1=(p+1)(p-1)}\)
Trzeba sprawdzić podzielność przez 8 i przez 3.
Przez 8:
Każda liczba pierwsza jest zarazem nieparzysta więc p-1 i p+1 to kolejne liczby parzyste. Wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna jest zawsze podzielna przez 4, a druga jest podzielna przez 2 więc razem ich iloczyn jest podzielny przez 8.
Przez 3:
przy dzieleniu przez trzy można uzyskać reszty 0,1,2. W wypadku liczby pierwszej nie możemy uzyskać reszty zero ponieważ liczby pierwsze dzielą się tylko przez 1 i przez siebie, a trójkę wyrzuciliśmy z założeń.
Kiedy p zwraca resztę z dzielenia 1 to p-1 dzieli się przez 3. Jeżeli zwraca dwójkę, to p+1 się dzieli przez 3.
3.\(\displaystyle{ n=a^{2}+b^{2}}\)
\(\displaystyle{ 5n=5a^{2}+5b^{2}=(2a+b)^{2}+(a-2b)^{2}}\)
4.Pierwsze równanie do kwadratu:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=0}\)
\(\displaystyle{ xy+yz+zx=-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\)
Podstawiasz to co ci wyszło do nierówności. suma kwadratów jest nieujemna więc z tym minusem przed ułamkiem całe wyrażenie jest mniejsze równe zero c.b.d.u.

[Dargi]

Czasu nie mam więc krótko co do 1

1Sprawdzam dla n =1

\(\displaystyle{ 1-1=0=30*0}\)

2

\(\displaystyle{ Z(n):n^{5}-n=30a}\)
\(\displaystyle{ T(n+1): (n+1)^{5}-(n+1)=30b}\)

Dalej sobie poradzisz tylko trzeba L(n+1)=... i udowodnić że to jest równe 30b

[mostostalek]

no nie wiem tej czy to jest takie proste...

tam wychodzi \(\displaystyle{ (n^5-n)+(5n^4+10n^3+10n^2+5n)}\).. pierwszy nawias jest podzielny z założenia.. trzeba sprawdzić czy drugi jest...

na pewno jest podzielny przez 5 ale czy też przez 30??

[KinSlayer]

1.
rozkladasz na czynniki:
\(\displaystyle{ n^{5}-1=n(n-1)(n+1)(n^{2}+1)=n(n-1)(n+1)(n^{2}-4+5)=\\=n(n-1)(n+1)[(n-2)(n+2)+5]}\)
czyli jak widac mamy iloczyn 3 kolejnych liczb: n,n-1,n+1 czyli napewno liczba jest podzielna przez 6, jezeli wsrod liczb n-1,n,n+1 nie wystepuje liczba podzielna przez 5 to napewno wystepuje w n-2 lub n+2 a ze 5 tez dzieli sie przez 5 to napewno wszystko dzieli sie przez 5 i 6 czyli generalnie przez 30

[mostostalek]

4. \(\displaystyle{ x+y+z\geq0}\)

zatem \(\displaystyle{ (x+y+z)^2\geq0}\)

z tego wynika że \(\displaystyle{ x^2+2xy+y^2+2yz+z^2+2xz\geq0}\)

wiadomo że \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2}\) dla każdego x,y,z \(\displaystyle{ \geq0}\)

zatem aby suma była równa zero \(\displaystyle{ 2(xy+yz+xz)\leq0}\)

[PanDragon]

Dzięki