Dziwna granica do policzenia :/

wasyl19 · Post autor: **wasyl19** » 14 gru 2006, o 21:24

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{2^{n}\cdot n!}}\)

Mam do policzenia taką granicę, nie za bardzo wiem jak to zrobić ;/ , probowałem z kryterium A'Dalemberta ,ale niestety wychodzi szereg rozbieżny e/2 i innych pomysłów brak.Byłbym wdzięczny za pomoc.

P.S :Zapomniałem dodać n dąży do nieskończoności

Nie wolno wklejac skanów! Calasilyar

kawaii · Post autor: **kawaii** » 14 gru 2006, o 22:57

musisz. zapisac inaczej ta granice mianowicie zapisz to jako 1 przez coś. I wtedy oblicz zbieznosc tego szeregu, zapewne wyjdzie ci, ze jest on zbiezny. Czyli granica "coś" jest rowna zero. A granica 1 przez "zero" to nieskonczonosc. I taki jest wynik.

Post autor: **bolo** » 14 gru 2006, o 23:35

Przecież to jest zwykła granica. Wykorzystaj szacowanie Stirlinga dla bardzo dużych \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ n!\approx ft(\frac{n}{e}\right)^{n}}\)

kawaii · Post autor: **kawaii** » 16 gru 2006, o 20:19

szacować to sobie można tylko czasem. Nie każdy prowadzący lubi coś takiego. Wtedy może ci powiedzieć tak: Prosze mi udowodnić coś takiego.

Zrób tak jak ja powiedziałem, to jest metoda którą się robi ten ciąg.

Post autor: **bolo** » 16 gru 2006, o 20:22

Mnie to mało obchodzi co lubi prowadzący, szczegółnie wtedy, gdy sposób jest dobry.

Post autor: **Rogal** » 16 gru 2006, o 22:39

Kryterium jest proste, jeżeli \(\displaystyle{ \lim \limits_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1}\), to \(\displaystyle{ \lim \limits_{n \to +\infty} a_{n} = 0}\)
I na kurze oko widać, że tak tutaj wyjść powinno.

kawaii · Post autor: **kawaii** » 17 gru 2006, o 14:17

No przecież chłopak napisał, że z kryterium Dalembarta wychodzi mu rozbieżny. Zatem, jeśli tak jest, to twoja uwaga nie ma sensu, a jeśli on źle zastosował kryterium Dalembarta to już sam se jest winien.

Post autor: **Rogal** » 18 gru 2006, o 18:45

Liczyłem tą granicę kiedyś tam i pamiętam, że wychodził ten ciąg zbieżny do zera, więc musiał się gdzieś pomylić.

kawaii · Post autor: **kawaii** » 18 gru 2006, o 19:46

Sprawdziłem, dobrze powiedział. Z kryterium Dalembarta nie mozna tu skorzystac. Bo wychodzi e/2

Post autor: **bolo** » 18 gru 2006, o 20:38

wasyl19 pisze:probowałem z kryterium A'Dalemberta ,ale niestety wychodzi szereg rozbieżny e/2 i innych pomysłów brak.Byłbym wdzięczny za pomoc.

Właśnie, badanie z d'Alemberta oraz korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów w tym przypadku jest niewystarczające. Możemy wziąć dowolny szereg rozbieżny, ale granica wyrazu ogólnego może być właściwa (np. szereg \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\)) lub niewłaściwa. Korzystając z propozycji (Stirling) od razu widzimy, że granica jest niewłaściwa:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{2^{n}n!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{2^{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{e}{2}\right)^{n}=+\infty}\)

kawaii · Post autor: **kawaii** » 18 gru 2006, o 23:05

No ale niekoniecznie, kazdy kto tu zaglada to studuje matematyke, i nie kocznie musi znać albo się nagle uczyć czegoś takiego. Lepiej znać dojście do rozwiązania poprzez metody które się zna.

g · Post autor: g » 19 gru 2006, o 01:53

bolo pisze:\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{2^{n}n!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{2^{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}}}\)

to przejscie jest oczywiscie zle, bo \(\displaystyle{ \lim {n^n \over e^n n!} \neq 1}\).

Post autor: **bolo** » 19 gru 2006, o 18:44

Słuszna uwaga, powinienem jeszcze dopisać \(\displaystyle{ \sqrt{2\pi n}}\), więc poprawniej wyglądałoby to tak:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{2^{n}\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}}}\)

Skleroza nie boli

spajder · Post autor: **spajder** » 19 gru 2006, o 19:27

nie łatwiej po prostu zbadać zbieżność:

\(\displaystyle{ \sum{\frac{2^nn!}{n^n}}}\)

zarówno z Alemberta jak i z Cauchy'ego (tutaj trochę problemów z silnią, ale można sobie poradzić) wychodzi zbieżny. Dodając do tego dodatmość wszyskich wyrazów szeregu:

\(\displaystyle{ \lim\frac{n^n}{2^nn!}=\infty}\)

oszacowanie może i jest dobre, ale np. mój wykładowca by go nie przyjął bez pożądnego dowodu, a w tym wypadku szybciej chyba zrobić tak, jak mówię