relacje

[kammi]

Cześc. Mam takie zadanko:
Zbadaj czy relacja \(\displaystyle{ \rho X^{2}}\) jest relacją równoważności. Wyznacz klasy abstrakcji
X=N \(\displaystyle{ x\rho y\Leftrightarrow (x\in Par y\in Par x=y) (x\notin Par y\notin Par 3Ix-y)}\)
Wyszło mi że jest to relacja równoważności. Jak mam wyznaczyć te klasy? Z góry dzięki.

[mu]

Spróbujmy po kolei
\(\displaystyle{ [0]_\rho = \{ x : 3|x \} = \{ 0, 3, 6, ... \}}\)
\(\displaystyle{ [1]_\rho = \{ x : 3|x-1 \} = \{ 1, 4, 7, ... \}}\)
\(\displaystyle{ [2]_\rho = \{ x : 3|x-2 \} = \{ 2, 5, 8, ... \}}\)
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ [0]_\rho \cap [1]_\rho \cap [2]_\rho = \emptyset}\) i \(\displaystyle{ [0]_\rho \cup [1]_\rho \cup [2]_\rho = X}\). Zatem klasy abstrakcji partycjonują \(\displaystyle{ X}\), czyli nie ma więcej, niż znaleźliśmy

Pozdrawiam,
mu

[Jan Kraszewski]

Niestety, to, co napisała mu jest bardzo nieprawdziwe. Ta relacja ma nieskończenie wiele klas abstrakcji. Jeśli \(\displaystyle{ x\in Par}\), to \(\displaystyle{ [x]_\rho=\{x\}}\). Ponadto \(\displaystyle{ [1]_\rho=\{y\in N:x\not\in Par\land 3|x-1\}}\), \(\displaystyle{ [3]_\rho=\{y\in N:x\not\in Par\land 3|x\}}\), \(\displaystyle{ [5]_\rho=\{y\in N:x\not\in Par\land 3|x-2\}}\).
JK

[mu]

Już dłuższą chwilę nie mogę ogranąć, jak bardzo mnie zaćmiło, kiedy to pisałam Nie wiem dlaczego, ale zupełnie pominęłam fragment pomiędzy \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) a \(\displaystyle{ 3|...}\) Oczywiście to, co napisał JK jest absolutnie prawdziwe, ja za swój błąd przepraszam, niesłuszny ten punkt "pomógł"

[kammi]

ja już nie wiem o co w tym wszystkim chodzi:D jak się to wyznacza?:P

[Jan Kraszewski]

Musisz się zastanowić, jakie liczby naturalne mogą być ze sobą w relacji \(\displaystyle{ \rho}\). Pierwsza część jej definicji mówi, że dwie liczby parzyste są ze sobą w relacji, tylko wtedy, gdy są równe, zatem każda liczba parzysta jest w relacji tylko z soba samą i stąd pierwsza część mojej odpowiedzi. Druga część definicji dotyczy liczb nieparzystych i takie liczby są ze sobą w relacji jeśli dają tą samą resztę z dzielenia przez 3 - stąd druga część odpowiedzi (są trzy możliwe reszty z dzielenia przez 3). W szczególności z definicji wynika też, że żadna liczba parzysta nie jest w relacji z żadną liczbą nieparzystą.
JK
PS. A tak ogólniej - relacje równoważności to nie jest prosty temat, ale warto poświęcić mu trochę czasu, by go zrozumieć. A w tym konkretnym przypadku mogę podać odpowiedź - całej teorii wraz z wytłumaczeniem nie dam rady...