liczenie granicy (de L'Hospital)

[prymas]

witam, nie moge sobie poradzic z obliczeniem takiej granicy, korzystajac z reguły de L'Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}(\frac{\((x+1)^{x}}{x^{x}*e})^{x}}\)

moze mi ktos pomoc?

[g]

raczej nie pojdzie szpitalem.
... lems1.html

[mu]

Rozważmy logarytm z tej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} x \left( x \ln \left(1 + {1 \over x} \right) - 1 \right) = \lim_{x \to 0^+} { \frac{\ln (1 + x)}{x} - 1 \over x}}\).
Teraz zauważmy, że wyrażenie pod ostatnią granicą jest ilorazem różnicowym funkcji \(\displaystyle{ \left \{ \begin{array}{cc} {\ln(1+x) \over x}, x \neq 0 \\ 1, x = 0 \end{array}}\) w zerze. Zatem potrzebujemy policzyć pochodną prawostronną tejże funkcji w zerze. Ponieważ ta funkcja jest tam ciągła, zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = f'_+ (0)}\). Dla \(\displaystyle{ x>0 f'(x) = {\frac{x}{1+x} - \ln(1+x) \over x^2}}\). Dalej już prosto. Wychodzi \(\displaystyle{ {1 \over 2}}\) jeśli się nie mylę.

To, że zadanie jest z Jarnika wcale nie musi oznaczać, że jest nie do zrobienia

Pozdrawiam,
mu

[g]

ja tego absolutnie nie twierdze. chociaz spodziewalem sie czegos bardziej ambitnego.