Trójkąt - Oblicz długość trzeciego boku

[Tama]

W trójkącie ABC miary kątów przy wierzchołkach A i B są w stosunku jak 2:1. Długości boków |AB| = 3 i |AC| = 6. Oblicz długość trzeciego boku.

[pYroMan]

\(\displaystyle{ \frac{\sin{2\alpha}\cdot |AB|\cdot |AC|}{2} = \frac{\sin{\alpha}\cdot |AB|\cdot |BC|}{2}\\ \\2\sin{\alpha}\cos{\alpha}|AC| = \sin{\alpha}|BC|\\ \\ |BC| = 2\cos{\alpha}|AC|}\)


[Zlodiej] - Edytowany w ramach wprowadzania estetyki postów

[W_Zygmunt]

Jeszcze tylko trzeba wiedzieć ile wynosi \(\displaystyle{ \cos{\alpha}}\).

\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{1}\ \Longrightarrow\ =2\beta\\\gamma = \pi-\alpha-\beta = \pi - 3\beta}\)

Z twierdzenia sinusów:

\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{\sin{\beta}} = \frac{|AB|}{\sin{\gamma}}\ \Longrightarrow\ \frac{6}{\sin{\beta}}=\frac{3}{\sin{(\pi-3\beta)}}\\2\sin{3\beta} = \sin{\beta}}\)

Korzystając z \(\displaystyle{ 3\beta=2\beta+\beta}\) i wzorów na sinus sumy i podwojonego kąta mamy:

\(\displaystyle{ 2[3\sin{\beta}-4\sin^3{\beta}] - \sin{\beta}=0\\\sin{\beta}[6-8\sin^2{\beta}-1]=0}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \sin{\beta} =0}\) nas nie interesuje:

\(\displaystyle{ \sin^2{\beta}=\frac{5}{8}\\\cos^2{\beta}= 1-\frac{5}{8} = \frac{3}{8}\\\cos{\beta}=\sqrt{\frac{3}{5}}}\)

|BC| ~ 7.348

Można też |BC| wyliczć z tw. cosinusów.


[Zlodiej] - Edytowany w ramach wprowadzania estetyki postów

[Tama]

Dzięki