[Nierówności] Nierówność z piętrowymi ułamkami

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 4 gru 2006, o 00:46

\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{c} + \frac{1}{d}} q \frac{1}{ \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}}\)

palazi · Post autor: **palazi** » 4 gru 2006, o 15:39

Lewą stronę najpierw ze średnich, a na koniec Czebyszew. Chwilowo nie mam zbytnio czasu zeby to rozpisać. Moze pózniej.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 6 gru 2006, o 13:15

okey, pospiechu nie ma...nie musi byc pełny wowod, wystarczy sam szkic ...

palazi · Post autor: **palazi** » 6 gru 2006, o 14:34

I'm sorry, zupełnie o tym zapomniałem! Więc masz udowodnić, że:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{c} + \frac{1}{d}})(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}) \leq 1}\)
Więc najpierw śr. harmoniczna - arytm.; a pózniej Czebyszew:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{c} + \frac{1}{d}})(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}) \leq (\frac{a+b}{4} + \frac{c+d}{4})(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}) = \frac{( (a+c) + (b+d) )}{2} \cdot \frac{( (\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}))}{2} \leq \frac{( (a+c)\cdot \frac{1}{a+c} + (b+d) \cdot \frac{1}{b+d} ) }{2} = \frac{2}{2} = 1}\)

Marcin88 · Post autor: **Marcin88** » 6 gru 2006, o 23:42

Czy na pewno Czebyszew w tę stronę? Powinno być chyba w drugą Trzeba to inaczej oszacować...

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 9 gru 2006, o 13:36

hmmmm, a moz e moznaby bez "pomocy" pana Czebyszewa sobie poradzić....?

Marcin88 · Post autor: **Marcin88** » 10 gru 2006, o 17:59

Niech: \(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\)
Łatwo sprawdzić, że: \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}}\)

g · Post autor: g » 10 gru 2006, o 18:24

Marcin88 pisze:Łatwo sprawdzić, że: \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}}\)

Marcin88 · Post autor: **Marcin88** » 10 gru 2006, o 20:09

No tak sądzę... ale jeśli się mylę byłbym wdzięczny, gdybyś mnie poprawił.

g · Post autor: g » 10 gru 2006, o 22:22

wedle tego, co myslisz \(\displaystyle{ f(x,y) = x^2 y^2}\) bylaby wypukla.
sprawdzanie samych drugich pochodnych ma tu malo do rzeczy, trzeba sprawdzic czy hesjan jest dodatnio/ujemnie okreslony.

Marcin88 · Post autor: **Marcin88** » 11 gru 2006, o 19:15

Tak, rzeczywiście masz rację. Dzięki za wyprowadzenie mnie z błędu.