granice ciagów z ln

[nozomi]

udowodnic podane granice:
a) \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}ln(1+\frac{1}{n})=0}\);
b) dla dowolnego ciagu \(\displaystyle{ x_{n}}\) rozbieżnego do 0 zachodzi równość
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}ln(1+\frac{1}{x_{n}}))=1}\)

mam z tymi granicami problem, wiem ze w a) napewno na e to trzeba udowodnic ale nie wiem za bardzo jak. z gory dzieki za pomoc

[kawaii]

z "e"????
jesli n darzy do nieskonczonosci to wtedy ten ulamek mozesz sobie darowac bo jest rowny zeru, czyli bedziesz mial ln z jedynki a to jest rowne zero.

[spajder]

2. \(\displaystyle{ x_nln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)=ln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}\to lne=1}\)

[V3mpire]

a) \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty} ln(1+\frac{1}{n}) = \lim\limits_{x\to\infty}ln{({(1+\frac{1}{n})}^{n})}^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{n}ln{(1+\frac{1}{n})}^{n} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{n} \lim\limits_{x\to\infty}{(1+\frac{1}{n})}^{n} = 0 e = 0}\)
choć jak dla mnie to bardzo "sztuczny" dowód, a już na pewno bardzo "na około"

[nozomi]

mam jeszcze jedna granice ktorej dowod wedlug mnie nie jest tak latwy, przynajmniej dla mnie
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}[x_{n}(\sqrt[x_{n}]{e}-1)]=1}\)

[V3mpire]

jak zadany jest \(\displaystyle{ x_{n}}\) ? ma jakieś warunki?

jeżeli \(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow \infty}\) to dowód jest nasępujący (niestety znam tylko taki, jest on dość ciężki, choć wszystko powinno być zrozumiałe...) :

\(\displaystyle{ a_{n} = x_{n} (\sqrt[x_{n}]{e}-1)}\)

niech \(\displaystyle{ y_{n} = \sqrt[x_{n}]{e} - 1 (\rightarrow 0)}\)
wtedy mamy:

\(\displaystyle{ 1+y_{n} = \sqrt[x_{n}]{e}

1+y_{n} = {e}^{\frac{1}{x_{n}}} /logarytmujemy

ln(1+y_{n}) = ln{e}^{\frac{1}{x_{n}}}

ln(1+y_{n}) = \frac{1}{x_{n}} lne = \frac{1}{x_{n}}

x_{n} = \frac{1}{ln(1+y_{n})}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ a_{n} = x_{n} \cdot (\sqrt[x_{n}]{e}-1) =
\frac{1}{ln(1+y_{n})} \cdot y_{n} =
\frac{1}{ \frac{1}{y_{n}} \cdot ln(1+y_{n})} =
\frac{1}{{ln(1+y_{n})}^{\frac{1}{y_{n}}}} =
\frac{1}{{ln(1+\frac{1}{y_{n}})}^{\frac{1}{y_{n}}}} \rightarrow 1}\)

(bo \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{y_{n}})}^{\frac{1}{y_{n}}} = e}\) )

Warto zauważyć, że zamiast \(\displaystyle{ e}\) możemy tam wstawić dowolną liczbę rzeczywistą dodatnią \(\displaystyle{ a}\), a naszą granicą będzie \(\displaystyle{ lna}\).

Niestety nie znam na to innego dowodu (no, oprócz regóły d'Hospitala, dzięki której można nieporównanie łatwiej pokazać powyższą (lub uogólnioną) granicę). Jeżeli ktoś zna inny dowód to z chęcią się przyjrzę...

pozdrawiam

[nozomi]

2. \(\displaystyle{ x_nln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)=ln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}\to lne=1}\)

co do tej odpowiedzi w pełni sie zgadam tylko ze problem jest w tym ze nie moge korzystac z tego ze funkcja logarytm jest funkcja ciagla, bo to sie udowadnia poxniej. tak wiec przyklad 2) mam pokazac poprzez ograniczonosc a poxniej zapewne na podstawie tw. o trzech ciagach tak samo z 1).

[ Dodano: 12 Grudzień 2006, 22:42 ]
tzn nie do konca sie zgadzam, bo

2. \(\displaystyle{ x_nln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)=ln\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}\to lne=1}\)

nie dąży do lne tylko do ln 1/e.