funkcja: \(\displaystyle{ \frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}}}\)
pierwsza pochodna obliczona, wyszło: \(\displaystyle{ \frac{2x+1}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})} = \frac{2x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}\)
ale drugiej pochodnej za chiny pańskie nie wiem jak policzyć, jakby ktoś mógł krok po kroku policzyć, oraz napisać z jakich wzorów korzysta byłbym wdzięczny mile widziany także słowny komentarz.
druga pochodna
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7069
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1327 razy
druga pochodna
Niech
\(\displaystyle{ g(x)=h(x)e(x)}\)
wtedy
\(\displaystyle{ [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}=\frac{f'(x)h(x)e(x)-f(x)[h(x)e(x)]'}{[h(x)e(x)]^2}=\\\\=\frac{f'(x)h(x)e(x)-f(x)h'(x)e(x)-f(x)h(x)e'(x)}{[h(x)e(x)]^2}}\)
teraz wystarczy podstawić odpowiednie funkcje.
\(\displaystyle{ g(x)=h(x)e(x)}\)
wtedy
\(\displaystyle{ [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}=\frac{f'(x)h(x)e(x)-f(x)[h(x)e(x)]'}{[h(x)e(x)]^2}=\\\\=\frac{f'(x)h(x)e(x)-f(x)h'(x)e(x)-f(x)h(x)e'(x)}{[h(x)e(x)]^2}}\)
teraz wystarczy podstawić odpowiednie funkcje.
-
boryssek
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 5 wrz 2004, o 21:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Myślibórz
- Podziękował: 3 razy
druga pochodna
pochodna z \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+1} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\) czy tak? jesli tak to dlaczego?
dlaczego nie \(\displaystyle{ \frac{1}{2.\sqrt{x^2+1}}}\)
dlaczego nie \(\displaystyle{ \frac{1}{2.\sqrt{x^2+1}}}\)
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7069
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1327 razy
druga pochodna
to jest pochodna funkcji złożonej
\(\displaystyle{ [f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)}\)
czyli w tym wypadku
\(\displaystyle{ (\sqrt{x^2+1})'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot (x^2+1)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\)
\(\displaystyle{ [f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)}\)
czyli w tym wypadku
\(\displaystyle{ (\sqrt{x^2+1})'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot (x^2+1)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\)
-
boryssek
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 5 wrz 2004, o 21:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Myślibórz
- Podziękował: 3 razy
druga pochodna
doszedłem do takiego cudeńka, da się jeszcze coś z tym zrobić?
\(\displaystyle{ \frac{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(2x)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(x^2+1)(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}}\) =
\(\displaystyle{ \frac{(2x^2+2)(\sqrt{x^2+1})-(4x^2+2x)(\sqrt{x^2+1})-(\frac{2x^4+x^3+2x^2+x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}}\)
bo przede mną jeszcze analiza tej drugiej pochodnej, (przebieg zmienności funkcji) i ciężko byłoby analizować coś takiego
\(\displaystyle{ \frac{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(2x)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(x^2+1)(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}}\) =
\(\displaystyle{ \frac{(2x^2+2)(\sqrt{x^2+1})-(4x^2+2x)(\sqrt{x^2+1})-(\frac{2x^4+x^3+2x^2+x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}}\)
bo przede mną jeszcze analiza tej drugiej pochodnej, (przebieg zmienności funkcji) i ciężko byłoby analizować coś takiego
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7069
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1327 razy
druga pochodna
Niepotrzebnie rozpisywałeś ostatnie wyrażenie, pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+1}}\), po uporządkowaniu i skróceniu tego, co się da powinieneś otrzymać
\(\displaystyle{ \frac{-4x^2-3x+2}{(x^2+1)^2\sqrt{x^2+1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-4x^2-3x+2}{(x^2+1)^2\sqrt{x^2+1}}}\)
-
boryssek
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 5 wrz 2004, o 21:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Myślibórz
- Podziękował: 3 razy
druga pochodna
@adams
za skarby świata nie mogę doprowadzić do takiego wyniki jak podałeś, mógłbyś od początku do końca te obliczenia przedstawić?
będę bardzo wdzięczny.
od razu pytanko czy ta druga pochodna będzie mogła mieć dwa punkty przegięcia, narysowałem sobie jej wykres przy pomocy programu derive, wygląda tak:
za skarby świata nie mogę doprowadzić do takiego wyniki jak podałeś, mógłbyś od początku do końca te obliczenia przedstawić?
będę bardzo wdzięczny.
od razu pytanko czy ta druga pochodna będzie mogła mieć dwa punkty przegięcia, narysowałem sobie jej wykres przy pomocy programu derive, wygląda tak:
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7069
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1327 razy
druga pochodna
\(\displaystyle{ \frac{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(2x)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(x^2+1)(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}=\\\\=
\frac{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(2x)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(x^2+1)(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=\\\\=
\frac{2(x^2+1)(x^2+1)-(2x+1)(2x)(x^2+1)-(2x+1)(x^2+1)x}{(x^2+1)^3\sqrt{x^2+1}} =\\\\=\frac{(x^2+1)[2(x^2+1)-(2x+1)2x-(2x+1)x]}{(x^2+1)^3\sqrt{x^2+1}}=\\\\=\frac{-4x^2-3x+2}{(x^2+1)^2\sqrt{x^2+1}}}\)
a odpowiedź na 2 pytanie pozostawiam innym znawcom tematu
\frac{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(2x)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(x^2+1)(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=\\\\=
\frac{2(x^2+1)(x^2+1)-(2x+1)(2x)(x^2+1)-(2x+1)(x^2+1)x}{(x^2+1)^3\sqrt{x^2+1}} =\\\\=\frac{(x^2+1)[2(x^2+1)-(2x+1)2x-(2x+1)x]}{(x^2+1)^3\sqrt{x^2+1}}=\\\\=\frac{-4x^2-3x+2}{(x^2+1)^2\sqrt{x^2+1}}}\)
a odpowiedź na 2 pytanie pozostawiam innym znawcom tematu
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
druga pochodna
Ok duga pochodna jest policzona nie będe się o tym rozpisywał.
Punkty przegięcia.
Punkt \(\displaystyle{ x_o}\) nazywamy punktem przegięcia gdy \(\displaystyle{ f''(x_0)=0}\). Punkt przegięcia jest to także taki punkt w którym następuje zmiana wypukłości/wklęsłości funkcji (funkjca zmienia właściwość z wypukłej na wklęsłą i odwrotnie- o co chodzi dokładnie napiszę dalej).
szukamy punktów przegięcia z przykładu:
\(\displaystyle{ -4x^2-3x+2=0\\
\Delta=9+32=41\\
x_1=\frac{3-\sqrt{41}}{-8}=\frac{\sqrt{41}-3}{8}\\
x_2=\frac{3+\sqrt{41}}{-8}=-\frac{3+\sqrt{41}}{8}\\}\)
Czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) ma dwa punkty przegięcia: \(\displaystyle{ x_1=\frac{\sqrt{41}-3}{8}\\
x_2=-\frac{3+\sqrt{41}}{8}\\}\)
Jakby patrzeć na wygenerowany wykres to punkty przegięcia się zgadzają z tym co jest na rysunku.
Dodatek: jeżeli \(\displaystyle{ f'(x_0)=0}\) i w \(\displaystyle{ x_0}\) nie następuje zmiana znaku pierwszej pochodnej, to jest to znak na to że dany punkt \(\displaystyle{ x_0}\) może być punktem przegięcia (nie jestem w 100% pewien czy musi nim być)
Teraz czas na wypukłość/wklęsłość.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) jeśli:
\(\displaystyle{ \forall_{x (a;b)}: f''(x) q 0}\)
Innymi słowy: każda styczna do wykresu w danym przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) leży pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)
Jeszcze inaczej: funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła w każdym przedziale w którym \(\displaystyle{ f''(x) q 0}\)
Dla przykładu jet to przedział: \(\displaystyle{ (-\frac{3+\sqrt{41}}{8};\frac{\sqrt{41}-3}{8}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) jeśli:
\(\displaystyle{ \forall_{x (a;b)}: f''(x) q 0}\)
Innymi słowy: każda styczna do wykresu w danym przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) leży nad wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)
Jeszcze inaczej: funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wklęsła w każdym przedziale w którym \(\displaystyle{ f''(x) q 0}\)
Dla przykładu jet to przedział: \(\displaystyle{ (-\infty;-\frac{3+\sqrt{41}}{8}) \cup (\frac{\sqrt{41}-3}{8};+\infty)}\)
Jak coś jeszcze potrzeba, pisz
P.S. mam nadzieję że się nigdzie nie pomyliłem
Punkty przegięcia.
Punkt \(\displaystyle{ x_o}\) nazywamy punktem przegięcia gdy \(\displaystyle{ f''(x_0)=0}\). Punkt przegięcia jest to także taki punkt w którym następuje zmiana wypukłości/wklęsłości funkcji (funkjca zmienia właściwość z wypukłej na wklęsłą i odwrotnie- o co chodzi dokładnie napiszę dalej).
szukamy punktów przegięcia z przykładu:
\(\displaystyle{ -4x^2-3x+2=0\\
\Delta=9+32=41\\
x_1=\frac{3-\sqrt{41}}{-8}=\frac{\sqrt{41}-3}{8}\\
x_2=\frac{3+\sqrt{41}}{-8}=-\frac{3+\sqrt{41}}{8}\\}\)
Czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) ma dwa punkty przegięcia: \(\displaystyle{ x_1=\frac{\sqrt{41}-3}{8}\\
x_2=-\frac{3+\sqrt{41}}{8}\\}\)
Jakby patrzeć na wygenerowany wykres to punkty przegięcia się zgadzają z tym co jest na rysunku.
Dodatek: jeżeli \(\displaystyle{ f'(x_0)=0}\) i w \(\displaystyle{ x_0}\) nie następuje zmiana znaku pierwszej pochodnej, to jest to znak na to że dany punkt \(\displaystyle{ x_0}\) może być punktem przegięcia (nie jestem w 100% pewien czy musi nim być)
Teraz czas na wypukłość/wklęsłość.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) jeśli:
\(\displaystyle{ \forall_{x (a;b)}: f''(x) q 0}\)
Innymi słowy: każda styczna do wykresu w danym przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) leży pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)
Jeszcze inaczej: funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła w każdym przedziale w którym \(\displaystyle{ f''(x) q 0}\)
Dla przykładu jet to przedział: \(\displaystyle{ (-\frac{3+\sqrt{41}}{8};\frac{\sqrt{41}-3}{8}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) jeśli:
\(\displaystyle{ \forall_{x (a;b)}: f''(x) q 0}\)
Innymi słowy: każda styczna do wykresu w danym przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) leży nad wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)
Jeszcze inaczej: funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wklęsła w każdym przedziale w którym \(\displaystyle{ f''(x) q 0}\)
Dla przykładu jet to przedział: \(\displaystyle{ (-\infty;-\frac{3+\sqrt{41}}{8}) \cup (\frac{\sqrt{41}-3}{8};+\infty)}\)
Jak coś jeszcze potrzeba, pisz
P.S. mam nadzieję że się nigdzie nie pomyliłem