Homomorfizm grup

[Przemal86]

Ogólnie: Jak się wyznacza homomorfizm? Jakie twierdzenia się stosuje?

Mam np wyznaczyć homomorfizm:

Z(6) na Z(12). Jak to najszybciej zrobić ??? Z czego korzystać ??

Z(N) - oznacza grupe addytwną reszt z dzielenia przez N

Pozdr.

PS. czemu żeby istniał homomrfizm Z(K) -> Z(M) ... Z i M nie mogą być względnie pierwsze?

[Emiel Regis]

Homomorfizm dwóch struktur algebraicznych jest to odwzorowanie zgodne z działaniami. Dodatkowo struktury muszą być tego samego typu.
Struktury Z(n) niekoniecznie takie są, jeśli n jest liczba pierwsza lub jej potęgą to Z(n) jest cialem Galois, w innym przypadku posiada podzielniki zera i jest pierścieniem. Oczywiście homomorfizm ciała w pierścień nie jest możliwy.

[Godfryd]

drizzt, mam wrażenie, że nie dokońca zrozumiałes o co chodzi Przemal86. Zapis Z(N) -bardziej powszechny jest \(\displaystyle{ Z_{n}}\), oznaczał u niego grupę skończną rzędu N z określonym działaniem a • b=mod(a+b). A odpowiedzi na zadane pytania niestety nie znam

[Emiel Regis]

Zrozumieć zrozumiałem ale słusznie że mi zwracasz uwagę bo nie doczytałem jednej linijki. Mianowicie tego że ma to być grupa z działaniem addytywnym, ja napisalem ogólniej o homomorfizmie ciał, czyli o sytuacji kiedy są dwa działania, addytywne i multiplikatywne, i w poście powyżej skupiłem się własnie na drugim działaniu... a szczerze powiedziawszy to dla addytywnego nie wiem gdzie lezy problem... , wg mnie go nie ma:| Zresztą ja na szczeście nie robiłem żadnych morfizmów w strukturach o działaniach modulo: ) Może ktoś inny bedzie wiedział...

[Godfryd]

ogólnie problem jest w tym, żeby wykazać, że istnieje niezerowy homomorfizm grup \(\displaystyle{ Z_{m}}\) i \(\displaystyle{ Z_{n}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy m i n nie są względnie pierwsze

[Arbooz]

Ja mam podobne zadanie i nie wiem jak się do niego zabrac:

Zad: Wyznacz wszystkie homomorfizmy z \(\displaystyle{ Z_{12}}\) w \(\displaystyle{ Z_{40}}\).

Będę wdzięczny za konkretną pomoc

[grzesuav]

zauważ zę wystarzy okreslic wartość na \(\displaystyle{ 1}\) bo ona generuje \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\)
wtedy \(\displaystyle{ f(1)=a, f(0) = f(1+..+1)=f(1) + ... + f(1) = 12f(1)}\) , ponieważ homomorfizm przenosi zero w zero. Więc teraz pokaż dla jakich \(\displaystyle{ f(1), 12f(1)=0}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{40}}\). No i pokaż że jest to liniowe.


@Godfryd skorzystaj z faktu że homomorfizm przenosi zero w zero, czyli jak mamy \(\displaystyle{ f: \mathbb{Z}_m \to { } \mathbb{Z}_n}\) to musi być \(\displaystyle{ f(0) = mf(1) = 0_{n}}\) gdzie to ostatnie zero jest z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\)

[Arbooz]

Dzięki wielkie za pomoc, już wszystko jasne :]