Ciala

[Pniaq]

Pomozcie:

1. Wykazac, ze ciała \(\displaystyle{ Q(\sqrt{3}), Q(\sqrt{2})}\) nie sa izomorficzne.

2. Okreslic charakterystyke ciała w którym zachodzi równosc: (1 + 1 + 1 + 1 + 1)� = \(\displaystyle{ (1+1)^5}\)

3.Podac baze i okreslic stopien nad Q kazdego z nastepujacych ciał:

a) Q\(\displaystyle{ (\sqrt{5})}\)
b) Q\(\displaystyle{ (2+\sqrt{3})}\)

4.Wykazac, ze skonczony pierscien bez dzielników zera jest ciałem o charakterystyce róznej od 0.

5.W zbiorze czteroelementowym {0, 1, a, b} okreslic działania +, � tak by otrzymac ciało. Na ile sposobów mozna to zrobic ? Jaka jest charakterystyka otrzymanego ciała ?

Dzieks z gory za cokolwiek

[nimdil]

Nie pamietam dokladnie niektórych pojęć ale:

1. Izomorfizm musi przekształcić liczby całkowite na całkowite (czemu? 1 je generuje a jest elementem wyróżnionym jako el. neutr. mnożenia). W \(\displaystyle{ A=\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) (ten drugi niech bedzie B) mamy taki element a, że a*a=2. Nie ma takiego elementu w zbiorze B - ot i po ptokach.

5. To nie będzie takie trudne - istnieją tylko 2 grupy abelowe rzędu cztery:
({0,1,2,3}, + mod 4)

[grzesuav]

3) pierwsze stopień 2, drugie też, wypisz ich wielomiany minimalne

[Rzeszut]

4.Wykazac, ze skonczony pierscien bez dzielników zera jest ciałem o charakterystyce róznej od 0.

Niech elementami tego pierścienia będą \(\displaystyle{ x_1,\ldots,x_n}\) (przyjmujemy \(\displaystyle{ x_i\neq x_j}\) dla \(\displaystyle{ i\neq j}\)) oraz niech \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Rozważmy elementy \(\displaystyle{ x\cdot x_1,\ldots, x\cdot x_n}\) oraz założmy, że pewne dwa spośród nich są równe, np. \(\displaystyle{ x\cdot x_i= x\cdot x_j}\) (\(\displaystyle{ i\neq j}\)), czyli \(\displaystyle{ x\cdot (x_i-x_j)=0}\). W pierścienu nie ma właściwych dzielników zera oraz \(\displaystyle{ x\neq 0}\), więc \(\displaystyle{ x_i=x_j}\). Wykazaliśmy, że elementy \(\displaystyle{ x\cdot x_1,\ldots, x\cdot x_n}\) są parami różne. Jest ich tyle samo, co elementów pierścienia, czyli są to wszystkie jego elementy. Musi zatem istnieć takie \(\displaystyle{ i}\), że \(\displaystyle{ x\cdot x_i=1}\), czyli \(\displaystyle{ x_i}\) jest wymaganą w definicji ciała odwrotnością elementu \(\displaystyle{ x\neq 0}\).
Aby udwodnić, że charakterystka tego ciała jest niezerowa, rozważmy \(\displaystyle{ n+1}\) jego elementów: \(\displaystyle{ 1,\; 1+1,\;\ldots,\; \underbrace{1+\ldots+1}_{n+1}}\). Z zasady szufladkowej Dirichleta któreś dwa z nich muszą być równe, np. \(\displaystyle{ \underbrace{1+\ldots+1}_{i}= \underbrace{1+\ldots+1}_{j}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ i}\)