liczby kardynalne

[Mapedd]

jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}^{\mathbb{N}}}\)?
(moc zbioru wszoystkich funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}}\)

oraz

wykaz ze :
\(\displaystyle{ |2^{\mathbb{A}}|=|\{0;1\}^{\mathbb{N}}|}\)

moc zbioru potegowego jest rowna mocy zbiorwszystkich funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{A} \{0;1\}}\)

nie wiem od czego zaczac

[Grzegorz Getka]

jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}^{\mathbb{N}}}\)?

Continuum.

Podpowiedź:

Umiesz udowodnić

\(\displaystyle{ |2^{\mathbb{A}}|=|\{0;1\}^{\mathbb{A}}|}\)

?

[Mapedd]

no tak srednio, moze tylko dal A=N dalbym rade, ale dla dowolnego to raczej nie...

[Jan Kraszewski]

moc zbioru potegowego jest rowna mocy zbiorwszystkich funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{A} \{0;1\}}\)
nie wiem od czego zaczac

Zacznij od zapoznania się z pojęciem funkcja charakterystyczna.
JK

[Mapedd]

ta funkcje akurat znam

\(\displaystyle{ \chi_A(x)=\left\{\begin{array}{l}1 \;\;dla\;\;x A\\0\;\;dla\;\;x A\end{array}}\)

ale co dalej?

[Jan Kraszewski]

No to spróbuj pomyśleć o funkcji, która podzbiorowi ustalonego zbioru przyporządkowuje jego funkcję charakterystyczną.
JK

[Mapedd]

znalazlem cos:

Dla kazdego zbioru \(\displaystyle{ X}\) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ \{1,0\}^X}\)

Przyjmijmy mianowicie, że dla każdego \(\displaystyle{ A\subsetX}\)
\(\displaystyle{ g(A)=f_A}\)
Zdefiniowaliśmy w ten sposób przekształcenie \(\displaystyle{ g}\)odwzorowjące zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ \{1,0\}^X}\). Niech bowiem \(\displaystyle{ f}\) będzie dowolną funkcją nalezącą do \(\displaystyle{ \{1,0\}^X}\). Weźmy pod uwagę zbiór tych elementów
\(\displaystyle{ x}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\), dla których \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\), czyli przeciwbraz zbioru \(\displaystyle{ \{1\}}\)wyznaczony przez funkcje \(\displaystyle{ f}\) , zbiór ten oznaczmy przez \(\displaystyle{ A}\), mamy więc
\(\displaystyle{ A=\{x X:\;f(x)=1\}}\)
Łatwo można zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcja charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ f=f_A}\) co dowodzi że \(\displaystyle{ g}\) jest przekształceniem "na" zbiór \(\displaystyle{ \{0;1\}}\).Wykażemy że \(\displaystyle{ g}\) jest przekształceniem różnowartościowym, w tym celu załóżmy że:
\(\displaystyle{ A,B X \;\; A B}\)
Istnieje wówczas element \(\displaystyle{ x X}\), taki który należy do \(\displaystyle{ A}\) i nie należy do \(\displaystyle{ B}\), albo należy do \(\displaystyle{ B}\) i nie należy do \(\displaystyle{ A}\), przypuśćmy dla ustalenia uwagi że \(\displaystyle{ x A x B}\), wówczas \(\displaystyle{ f_A(x)=0 \;\; f_B(x)=1}\), stąd \(\displaystyle{ f_A f_B}\) i \(\displaystyle{ g(A) g(B)}\).
Fukcja \(\displaystyle{ g}\) ustala więc równoliczność rodziny wszystkich podzbiorów zbioru\(\displaystyle{ X}\) i zbioru \(\displaystyle{ \{1,0\}^X}\).

to rozumiem, ale jak to sie ma do zadania pierwszego z pierwszego postu?

[Grzegorz Getka]

No f to jest właśnie \(\displaystyle{ \chi}\)

[Mapedd]

nie, chodzi i ten przyklad ze zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{N}^{\mathbb{N}}}\)

[Grzegorz Getka]

Tzn. chcesz dowód, że liczbą kardynalną \(\displaystyle{ \mathbb{N}^{\mathbb{N}}}\) jest continuum ?

[Mapedd]

czytasz w moich myslach... bardzo byl bym rad mogąc ujrzeć ów dowod

[Grzegorz Getka]

Mamy zbiór liczb naturalnych. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych ma liczbę kardynalną równą continuum. A \(\displaystyle{ N^{N}}\) jest przecież większe od \(\displaystyle{ 2^N}\):

\(\displaystyle{ |2^N|=c 2^N < N^N}\)
\(\displaystyle{ |2^N|=c |N^N|=c}\)