Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Wszystko, co chcielibyście wiedzieć o studiowaniu: co wybrać? jakie są warunki przyjęć? życie studenckie? Zajrzyjcie tutaj!
BraveMind
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 9 maja 2011, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 12 razy

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: BraveMind »

Trzy zadania z części "matematyka":

4. Niech \(\displaystyle{ f:R \rightarrow \left( 0,+ \infty \right)}\) będzie funkcją ciągłą taką, że \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)}\). Pokazać, że dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0,1\right)}\) zachodzi :

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx \ge 1}\)

5. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^2=2 \cdot y^2+1}\) w liczbach naturalnych

6. Niech \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) będzie funkcją ciągłą taką, że \(\displaystyle{ f(2x^2-1)=2xf(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ -1 \le x \le 1}\).
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: smigol »

5. Równanie Pella.
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: darek20 »

6. Putnam 2000
TomciO
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 289
Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 38 razy

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: TomciO »

4. Lemat: jeśli liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n}\) są dodatnie, to \(\displaystyle{ \frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1}}{n} \geq 1}\).
Wynika to natychmiast z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną.

Rozwiązanie zadania podzielimy na 3 kroki.

1) \(\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \geq 2}\) naturalnego.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx = \int_{0}^{\frac{1}{n}} \left ( \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})} + \frac{f(x+\frac{1}{n})}{f(x+\frac{2}{n})} + \ldots + \frac{f(x+\frac{n-1}{n})}{f(x+1)} \right ) dx =}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{1}{n}} \left ( \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})} + \frac{f(x+\frac{1}{n})}{f(x+\frac{2}{n})} + \ldots + \frac{f(x+\frac{n-1}{n})}{f(x)} \right ) dx \geq \int_{0}^{\frac{1}{n}} n dx = 1.}\)

2)\(\displaystyle{ \alpha = \frac{m}{n}}\). Ten przypadek łatwo sprowadzamy do poprzedniego bo \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx = \frac{1}{m} \int_{0}^{m} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx}\) i teraz podstawiamy \(\displaystyle{ y = \frac{x}{m}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = f(mx)}\). Po prostych przekształceniach okazuje się, że jest to krok 1) dla funkcji g.

3)\(\displaystyle{ \alpha}\) dowolne. Dobieramy ciąg liczb wymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ \alpha}\) z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) odpowiednie całki zbiegają do \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx}\) (choćby dlatego, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\)), ponieważ a ponieważ te całki są większe lub równe \(\displaystyle{ 1}\), to również \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx \geq 1}\).
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 89 razy

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: Elvis »

4. (trochę inaczej zapisane)

Jak pokazał TomciO, chodzi wyłącznie o nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Dla funkcji ciągłej dodatniej \(\displaystyle{ g \colon [0,1] \to \mathbb{R}}\) mamy z nierówności Jensena
\(\displaystyle{ \ln \left( \int_0^1 g \right) \geqslant \int_0^1 \ln (g),}\)
czyli zachodzi nierówność między średnimi
\(\displaystyle{ \int_0^1 g \geqslant \exp \left( \int_0^1 \ln (g) \right).}\)
Jeśli zastosujemy ją dla \(\displaystyle{ g(x) = \frac{f(x)}{f(x + \alpha)}}\), to na mocy okresowości \(\displaystyle{ \int_0^1 \ln (g) = 0}\) i mamy tezę.
ODPOWIEDZ