[Liga maturalna] Seria 7 (05.11.07r.-11.11.07r.), wyniki

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Awatar użytkownika
bolo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 7 (05.11.07r.-11.11.07r.), wyniki

Post autor: bolo »

  1. Na paraboli \(\displaystyle{ x^{2}=2y}\) znaleźć punkt, którego odległość od punktu \(\displaystyle{ A(1,1)}\) jest najmniejsza. (5pkt.)
  2. Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\) nie może być zapisana w postaci \(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2,}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi. Sprawdzić też, że liczbę \(\displaystyle{ y=507+264\sqrt{3}}\) da się w tej postaci przedstawić. (6pkt.)
  3. Wybrano na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\tfrac{1}{x}}\) dwa punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) o odciętych równych odpowiednio \(\displaystyle{ x_{A}=\tfrac{1}{2},}\) \(\displaystyle{ x_{B}=8.}\) Podać współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ P}\) tej stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f,}\) która jest równoległa do odcinka \(\displaystyle{ AB.}\) (5pkt.)
  4. Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}}\) losujemy kolejno dwie liczby (bez zwracania). (4pkt.)
    1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń:
      • A - suma wylosowanych liczb jest większa od \(\displaystyle{ 8}\)
      • B - za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą.
    2. Czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne?
    3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb wylosowanych jest większa od \(\displaystyle{ 8,}\) jeżeli za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą?
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 11 listopada) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia
Awatar użytkownika
bolo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 7 (05.11.07r.-11.11.07r.), wyniki

Post autor: bolo »

Tabela wyników:

\(\displaystyle{ \begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/5)} & \mbox{Zad. 2 (/6)} & \mbox{Zad. 3 (/5)} & \mbox{Zad. 4 (/4)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{*Kasia} & 5 & 6 & 5 & 4 & 20\mbox{pkt.}\,\,(100\%) \\
\mbox{altair3} & - & 4 & - & - & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{Sylwek} & 4 & 6 & 5 & 2 & 17\mbox{pkt.}\,\,(85\%) \\
\mbox{Szemek} & 5 & 6 & 5 & 3 & 19\mbox{pkt.}\,\,(95\%) \\
\hline\hline\end{array}}\)



Wybrane nadesłane rozwiązania:
  1. Zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) jako odległość punktu należącego do paraboli, mającego odciętą równą \(\displaystyle{ x}\) od punktu \(\displaystyle{ A\left(1,1\right)}\). Współrzędne tego punktu to \(\displaystyle{ \left(x; \frac{x^2}{2}\right)}\).
    \(\displaystyle{ f\left(x\right)=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(\frac{x^2-2}{2}\right)^2}}\)
    Funkcja \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) osiąga minimum wtedy, gdy minimum osiąga funkcja \(\displaystyle{ g\left(x\right)=\left(x-1\right)^2+\left(\frac{x^2-2}{2}\right)^2=\frac{x^4}{4}-2x+2}\) (funkcja ta przyjmuje zawsze wartości nieujemne).
    Pochodna funkcji \(\displaystyle{ g\left(x\right)}\):
    \(\displaystyle{ g'\left(x\right)=\left(\frac{x^4}{4}-2x+2\right)'=\left(\frac{x^4}{4}\right)'-\left(2x\right)'+\left(2\right)'=\frac{\left(x^4\right)'\cdot 4+\left(x^4\right)\cdot ft(4\right)'}{4^2}-2=\frac{16x^3+0}{16}-2=x^3-2}\)
    Funkcja ta osiąga miejsce zerowe i zmianę znaku z ujemnego na dodatni w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) takim, że:
    \(\displaystyle{ x_0^3-2=0\\
    x_0=\sqrt[3]{2}}\)

    W tym samym punkcie funkcja \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) osiąga minimum.
    Czyli szukany punkt na paraboli ma współrzędne \(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]{2};\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)}\).

    Odpowiedź: Punkt należący do paraboli \(\displaystyle{ x^2=2y}\), którego odległość od punktu \(\displaystyle{ A\left(1,1\right)}\) jest możliwie najmniejsza ma współrzędne \(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]{2};\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)}\).
    1. Przeprowadźmy dowód nie wprost.

      \(\displaystyle{ a,b \mathbb{Z}}\)

      Rozpiszmy:
      \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{3})^2=a^2+3b^2+2\sqrt{3}ab}\)

      Ale w naszym przypadku: \(\displaystyle{ a^2+3b^2=99999 \\ a^2=3(33333-b^2)}\)

      Zatem \(\displaystyle{ 3|a^2 \ \ 3|a}\)

      Ale mamy zarazem:
      \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}ab=100000\sqrt{3} \\ ab=50000}\)

      Ale skoro \(\displaystyle{ 3|a}\), to \(\displaystyle{ 50000|3}\), co jest sprzecznością, zatem liczba \(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\) nie może być zapisana w postaci \(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2}\), gdzie a i b są liczbami całkowitymi.
    2. Mamy tutaj następujący układ równań:
      \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3b^2=507 \\ 2\sqrt{3}ab=264\sqrt{3} \end{cases} \\ \begin{cases} a^2+3b^2=507 \\ ab=132 \iff a=\frac{132}{b} \end{cases} \\ \frac{17424}{b^2}+3b^2=507 \\ 3b^4-507b^2+17424=0 \\ b^4-169b^2+5808=0 \\ (b^2-48)(b^2-121)=0 \ b \mathbb{Z} \\ \begin{cases}b=11 \\ a=12\end{cases} \begin{cases}b=-11 \\ a=-12 \end{cases}}\)

      Czyli:
      \(\displaystyle{ (12+11\sqrt{3})^2=507+264\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ (-12-11\sqrt{3})^2=507+264\sqrt{3}}\), a tego właśnie mieliśmy dowieść.
  2. \(\displaystyle{ x_{A}=\tfrac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ x_{B}=8}\)
    Wyznaczam punkty A i B:
    \(\displaystyle{ f(\tfrac{1}{2})=2}\)
    \(\displaystyle{ A(\tfrac{1}{2},2)}\)
    \(\displaystyle{ f(8)=\tfrac{1}{8}}\)
    \(\displaystyle{ B(8, \tfrac{1}{8})}\)
    Wyznaczam prostą \(\displaystyle{ l:y=ax+b}\) przechodzącą przez punkty A i B
    \(\displaystyle{ a=tg \ }\)
    \(\displaystyle{ \vec{AB}[8-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{8}-2]}\)
    \(\displaystyle{ \vec{AB}[\tfrac{15}{2}, -\tfrac{15}{8}]}\)
    \(\displaystyle{ tg \ = \frac{-\tfrac{15}{8}}{\tfrac{15}{2}} \iff tg \ =-\tfrac{1}{4}}\)
    \(\displaystyle{ l:y=-\tfrac{1}{4}x+b}\)
    \(\displaystyle{ A l}\)
    \(\displaystyle{ 2=-\tfrac{1}{4} \tfrac{1}{2} +b \iff b=\tfrac{17}{8}}\)
    \(\displaystyle{ l:y=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{17}{8}}\)
    Szukam punktów wspólnych stycznych i wykresu funkcji:
    \(\displaystyle{ f'(x_0)=-\tfrac{1}{4} \iff -\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{4}}\)
    \(\displaystyle{ x^2=4 \iff (x_1=-2, \ x_2=2)}\)
    \(\displaystyle{ f(x_1)=f(-2)=-\frac{1}{2}}\)
    \(\displaystyle{ f(x_2)=f(2)=\frac{1}{2}}\)
    \(\displaystyle{ P\left(-2,-\frac{1}{2}\right) P\left(2, \frac{1}{2}\right)}\)

    Odpowiedź: Punkt P ma współrzędne \(\displaystyle{ P\left(-2,-\tfrac{1}{2}\right)}\) lub \(\displaystyle{ P(2, \tfrac{1}{2})}\).
  3. Ad 1
    Wszystkich zdarzeń: \(\displaystyle{ \frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30}\)
    a) Zdarzeń sprzyjających: \(\displaystyle{ 8}\): (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5)
    \(\displaystyle{ P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}}\)
    b) Zdarzeń sprzyjających: \(\displaystyle{ 3\cdot 5=15}\)
    \(\displaystyle{ P(B)=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}}\)

    Ad 2
    Zdarzenia A i B są niezależne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)}\)
    \(\displaystyle{ A\cap B}\): zdarzeń sprzyjających: 5: (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5).
    \(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}}\)
    \(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)=\frac{4}{15}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{15}\\
    P(A)\cdot P(B)\neq (A\cap B)}\)


    Ad 3
    I sposób: Prawdopodobieństwo warunkowe:
    \(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}}\)
    II sposób: Wszystkich zdarzeń: \(\displaystyle{ 3\cdot 5=15}\)
    Sprzyjających: \(\displaystyle{ 5}\): (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5).
    \(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}\).

    Odpowiedź: \(\displaystyle{ P(A)=\tfrac{4}{15},\ P(B)=\tfrac{1}{2},\ P(A|B)=\tfrac{1}{3}}\), zdarzenia A i B nie są niezależne.
Zablokowany