Na paraboli \(\displaystyle{ x^{2}=2y}\) znaleźć punkt, którego odległość od punktu \(\displaystyle{ A(1,1)}\) jest najmniejsza. (5pkt.)
Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\) nie może być zapisana w postaci \(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2,}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi. Sprawdzić też, że liczbę \(\displaystyle{ y=507+264\sqrt{3}}\) da się w tej postaci przedstawić. (6pkt.)
Wybrano na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\tfrac{1}{x}}\) dwa punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) o odciętych równych odpowiednio \(\displaystyle{ x_{A}=\tfrac{1}{2},}\)\(\displaystyle{ x_{B}=8.}\) Podać współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ P}\) tej stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f,}\) która jest równoległa do odcinka \(\displaystyle{ AB.}\)(5pkt.)
Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}}\) losujemy kolejno dwie liczby (bez zwracania). (4pkt.)
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń:
A - suma wylosowanych liczb jest większa od \(\displaystyle{ 8}\)
B - za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą.
Czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb wylosowanych jest większa od \(\displaystyle{ 8,}\) jeżeli za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą?
__________
Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 11 listopada) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:
Zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) jako odległość punktu należącego do paraboli, mającego odciętą równą \(\displaystyle{ x}\) od punktu \(\displaystyle{ A\left(1,1\right)}\). Współrzędne tego punktu to \(\displaystyle{ \left(x; \frac{x^2}{2}\right)}\). \(\displaystyle{ f\left(x\right)=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(\frac{x^2-2}{2}\right)^2}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) osiąga minimum wtedy, gdy minimum osiąga funkcja \(\displaystyle{ g\left(x\right)=\left(x-1\right)^2+\left(\frac{x^2-2}{2}\right)^2=\frac{x^4}{4}-2x+2}\) (funkcja ta przyjmuje zawsze wartości nieujemne).
Pochodna funkcji \(\displaystyle{ g\left(x\right)}\): \(\displaystyle{ g'\left(x\right)=\left(\frac{x^4}{4}-2x+2\right)'=\left(\frac{x^4}{4}\right)'-\left(2x\right)'+\left(2\right)'=\frac{\left(x^4\right)'\cdot 4+\left(x^4\right)\cdot ft(4\right)'}{4^2}-2=\frac{16x^3+0}{16}-2=x^3-2}\)
Funkcja ta osiąga miejsce zerowe i zmianę znaku z ujemnego na dodatni w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) takim, że: \(\displaystyle{ x_0^3-2=0\\
x_0=\sqrt[3]{2}}\)
W tym samym punkcie funkcja \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) osiąga minimum.
Czyli szukany punkt na paraboli ma współrzędne \(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]{2};\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)}\).
Odpowiedź: Punkt należący do paraboli \(\displaystyle{ x^2=2y}\), którego odległość od punktu \(\displaystyle{ A\left(1,1\right)}\) jest możliwie najmniejsza ma współrzędne \(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]{2};\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)}\).
Ale w naszym przypadku: \(\displaystyle{ a^2+3b^2=99999 \\ a^2=3(33333-b^2)}\)
Zatem \(\displaystyle{ 3|a^2 \ \ 3|a}\)
Ale mamy zarazem: \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}ab=100000\sqrt{3} \\ ab=50000}\)
Ale skoro \(\displaystyle{ 3|a}\), to \(\displaystyle{ 50000|3}\), co jest sprzecznością, zatem liczba \(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\) nie może być zapisana w postaci \(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2}\), gdzie a i b są liczbami całkowitymi.
Czyli: \(\displaystyle{ (12+11\sqrt{3})^2=507+264\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ (-12-11\sqrt{3})^2=507+264\sqrt{3}}\), a tego właśnie mieliśmy dowieść.
\(\displaystyle{ x_{A}=\tfrac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ x_{B}=8}\)
Wyznaczam punkty A i B: \(\displaystyle{ f(\tfrac{1}{2})=2}\) \(\displaystyle{ A(\tfrac{1}{2},2)}\) \(\displaystyle{ f(8)=\tfrac{1}{8}}\) \(\displaystyle{ B(8, \tfrac{1}{8})}\)
Wyznaczam prostą \(\displaystyle{ l:y=ax+b}\) przechodzącą przez punkty A i B \(\displaystyle{ a=tg \ }\) \(\displaystyle{ \vec{AB}[8-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{8}-2]}\) \(\displaystyle{ \vec{AB}[\tfrac{15}{2}, -\tfrac{15}{8}]}\) \(\displaystyle{ tg \ = \frac{-\tfrac{15}{8}}{\tfrac{15}{2}} \iff tg \ =-\tfrac{1}{4}}\) \(\displaystyle{ l:y=-\tfrac{1}{4}x+b}\) \(\displaystyle{ A l}\) \(\displaystyle{ 2=-\tfrac{1}{4} \tfrac{1}{2} +b \iff b=\tfrac{17}{8}}\) \(\displaystyle{ l:y=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{17}{8}}\)
Szukam punktów wspólnych stycznych i wykresu funkcji: \(\displaystyle{ f'(x_0)=-\tfrac{1}{4} \iff -\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{4}}\) \(\displaystyle{ x^2=4 \iff (x_1=-2, \ x_2=2)}\) \(\displaystyle{ f(x_1)=f(-2)=-\frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ f(x_2)=f(2)=\frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ P\left(-2,-\frac{1}{2}\right) P\left(2, \frac{1}{2}\right)}\)
Odpowiedź: Punkt P ma współrzędne \(\displaystyle{ P\left(-2,-\tfrac{1}{2}\right)}\) lub \(\displaystyle{ P(2, \tfrac{1}{2})}\).
Ad 1
Wszystkich zdarzeń: \(\displaystyle{ \frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30}\)
a) Zdarzeń sprzyjających: \(\displaystyle{ 8}\): (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5) \(\displaystyle{ P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}}\)
b) Zdarzeń sprzyjających: \(\displaystyle{ 3\cdot 5=15}\) \(\displaystyle{ P(B)=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}}\)
Ad 2
Zdarzenia A i B są niezależne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)}\) \(\displaystyle{ A\cap B}\): zdarzeń sprzyjających: 5: (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5). \(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}}\) \(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)=\frac{4}{15}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{15}\\
P(A)\cdot P(B)\neq (A\cap B)}\)
Ad 3 I sposób: Prawdopodobieństwo warunkowe: \(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}}\) II sposób: Wszystkich zdarzeń: \(\displaystyle{ 3\cdot 5=15}\)
Sprzyjających: \(\displaystyle{ 5}\): (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5). \(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}\).
Odpowiedź: \(\displaystyle{ P(A)=\tfrac{4}{15},\ P(B)=\tfrac{1}{2},\ P(A|B)=\tfrac{1}{3}}\), zdarzenia A i B nie są niezależne.