Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się elipsy \(\displaystyle{ x^{2}+4y^{2}=4}\) z okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(0,-1)}\) i przechodzącym przez ogniska tej elipsy. (5pkt.)
Logarytmy trzech liczb tworzą ciąg arytmetyczny. Suma odwrotności tych liczb równa jest \(\displaystyle{ 39.}\) a suma kwadratów odwrotności wynosi \(\displaystyle{ 819.}\) Znaleźć te liczby. (5pkt.)
Ciąg \(\displaystyle{ \left(a_n\right)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_{1}=1, \quad a_{n+1}=a_{n}+\tfrac{1}{a_{n}}}\) dla \(\displaystyle{ n\geqslant 1.}\)
Wyznaczyć najmniejszą liczbę dodatnią \(\displaystyle{ k}\) taką, że ciąg \(\displaystyle{ \tfrac{a_{n}}{n^k}}\) jest zbieżny. Dla tak znalezionego \(\displaystyle{ k}\) obliczyć
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{a_n}{n^k}.}\)
(6pkt.)
Student zna odpowiedzi na 20 spośród 25 pytań egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na co najmniej trzy pytania spośród czterech wybranych losowo? (4pkt.)
__________
Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 4 listopada) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:
Środek elipsy znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ E(0,0)}\). Przekształćmy równanie elipsy w ten sposób, aby po prawej stronie była jedynka: \(\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+y^2=1 \\ \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 2>1,}\) to ogniska tej elipsy mają współrzędne \(\displaystyle{ P(c, 0)}\) oraz \(\displaystyle{ R(-c, 0)}\). Wiemy, że: \(\displaystyle{ c^2=2^2-1^2, \ \ c>0 \\ c=\sqrt{3}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ |SP|=|SR|}\), to okrąg zawierający punkt będący jednym z ognisk elipsy, zawiera również drugi punkt będący ogniskiem tej elipsy. Więc: \(\displaystyle{ (x-0)^2+(y-(-1))^2=r^2 \\ x^2+(y+1)^2=r^2}\)
A że punkt \(\displaystyle{ (\sqrt{3}, 0)}\) należy do tej elipsy, to: \(\displaystyle{ \sqrt{3}^2+(0+1)^2=r^2, \\ r^2=4 \ \ r>0 \\ r=2}\)
Rozwiążmy więc układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+4y^2=4 \\ x^2 + (y+1)^2=4 \end{cases}}\)
Odejmijmy drugie równanie od pierwszego: \(\displaystyle{ 4y^2-(y-1)^2=0 \\ (2y)^2-(y+1)^2=0 \\ (2y-y-1)(2y+y+1)=0 \\ (y-1)(3y+1)=0 \\ y=1 \vee y=-\frac{1}{3}}\)
Więc szukamy pola trójkąta \(\displaystyle{ \Delta XYZ}\), dla \(\displaystyle{ X\left(\frac{4\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}\right)}\), \(\displaystyle{ Y\left(-\frac{4\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}\right)}\), \(\displaystyle{ Z(0,1)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ XY}\) jest równoległy do osi OX, to pole tego trójkąta wynosi: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)\right) \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\left(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{8\sqrt{2}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{9}}\)
Odpowiedź: Pole szukanego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ \frac{16\sqrt{2}}{9}}\) jednostek kwadratowych.
Niech \(\displaystyle{ x, y , z}\) - szukane liczby
Z tego, że logarytmy tych liczb tworzą ciąg arytmetyczny mamy
\(\displaystyle{ \log y= \frac{\log x+\log z}{2}}\) \(\displaystyle{ y ^{2} =xz}\)
zatem \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3} \vee x= \frac{1}{27}}\)
Zatem ostatecznie szukane liczby to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} , \frac{1}{9} , \frac{1}{27}.}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ a_{n+1}^2=a_{n}^2+\tfrac{1}{a_{n}^2}+2}\). Ciąg \(\displaystyle{ \left(a_{n}\right)}\) jest rosnący, czyli \(\displaystyle{ a_{n} \geqslant 1}\). A zatem gdy \(\displaystyle{ n>1}\), to
(np. przez indukcję): \(\displaystyle{ a_{n}^2=a_{1}^2+ ft(\frac{1}{a_{1}^2}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}^2}\right) +2(n-1),}\)
jest zbieżny do zera - jako ciąg średnich arytmetycznych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \tfrac{1}{a_{n}^2}}\). Także \(\displaystyle{ c_n=\tfrac{n-1}{n} b_{n}}\) dąży do zera.
Ostatecznie ciąg \(\displaystyle{ \tfrac{a_{n}^2}{n}}\) jest zbieżny do 2. Tak więc \(\displaystyle{ k=\tfrac{1}{2},}\) a szukana granica to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
Liczba wszystkich zdarzeń: \(\displaystyle{ C^4_{25}=\frac{25!}{4!\cdot 21!}=12650}\)
Prawdopodobieństwo, że odpowie na co najmniej trzy pytania: \(\displaystyle{ P=\frac{10545}{12650}=\frac{2109}{2530}}\).
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej trzy spośród czterech wylosowanych pytań wynosi \(\displaystyle{ \frac{2109}{2530}}\).