[Liga maturalna] Seria 6 (29.10.07r.-04.11.07r.), wyniki

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Awatar użytkownika
bolo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 6 (29.10.07r.-04.11.07r.), wyniki

Post autor: bolo »

  1. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się elipsy \(\displaystyle{ x^{2}+4y^{2}=4}\) z okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(0,-1)}\) i przechodzącym przez ogniska tej elipsy. (5pkt.)
  2. Logarytmy trzech liczb tworzą ciąg arytmetyczny. Suma odwrotności tych liczb równa jest \(\displaystyle{ 39.}\) a suma kwadratów odwrotności wynosi \(\displaystyle{ 819.}\) Znaleźć te liczby. (5pkt.)
  3. Ciąg \(\displaystyle{ \left(a_n\right)}\) jest określony następująco:
    \(\displaystyle{ a_{1}=1, \quad a_{n+1}=a_{n}+\tfrac{1}{a_{n}}}\) dla \(\displaystyle{ n\geqslant 1.}\)
    Wyznaczyć najmniejszą liczbę dodatnią \(\displaystyle{ k}\) taką, że ciąg \(\displaystyle{ \tfrac{a_{n}}{n^k}}\) jest zbieżny. Dla tak znalezionego \(\displaystyle{ k}\) obliczyć
    \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{a_n}{n^k}.}\)
    (6pkt.)
  4. Student zna odpowiedzi na 20 spośród 25 pytań egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na co najmniej trzy pytania spośród czterech wybranych losowo? (4pkt.)
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 4 listopada) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia
Ostatnio zmieniony 7 lis 2007, o 18:06 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
bolo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 6 (29.10.07r.-04.11.07r.), wyniki

Post autor: bolo »

Tabela wyników:

\(\displaystyle{ \begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/5)} & \mbox{Zad. 2 (/5)} & \mbox{Zad. 3 (/6)} & \mbox{Zad. 4 (/4)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{*Kasia} & - & - & - & 4 & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{altair3} & - & - & - & 4 & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{robin5hood} & - & 5 & 4 & - & 9\mbox{pkt.}\,\,(45\%) \\
\mbox{Sylwek} & 5 & 5 & - & 2 & 12\mbox{pkt.}\,\,(60\%) \\
\mbox{Szemek} & 4 & - & - & - & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\hline\hline\end{array}}\)



Wybrane nadesłane rozwiązania:
  1. Środek elipsy znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ E(0,0)}\). Przekształćmy równanie elipsy w ten sposób, aby po prawej stronie była jedynka:
    \(\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+y^2=1 \\ \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1}\)

    Ponieważ \(\displaystyle{ 2>1,}\) to ogniska tej elipsy mają współrzędne \(\displaystyle{ P(c, 0)}\) oraz \(\displaystyle{ R(-c, 0)}\). Wiemy, że:
    \(\displaystyle{ c^2=2^2-1^2, \ \ c>0 \\ c=\sqrt{3}}\)

    Ponieważ \(\displaystyle{ |SP|=|SR|}\), to okrąg zawierający punkt będący jednym z ognisk elipsy, zawiera również drugi punkt będący ogniskiem tej elipsy. Więc:
    \(\displaystyle{ (x-0)^2+(y-(-1))^2=r^2 \\ x^2+(y+1)^2=r^2}\)

    A że punkt \(\displaystyle{ (\sqrt{3}, 0)}\) należy do tej elipsy, to:
    \(\displaystyle{ \sqrt{3}^2+(0+1)^2=r^2, \\ r^2=4 \ \ r>0 \\ r=2}\)

    Rozwiążmy więc układ równań:
    \(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+4y^2=4 \\ x^2 + (y+1)^2=4 \end{cases}}\)

    Odejmijmy drugie równanie od pierwszego:
    \(\displaystyle{ 4y^2-(y-1)^2=0 \\ (2y)^2-(y+1)^2=0 \\ (2y-y-1)(2y+y+1)=0 \\ (y-1)(3y+1)=0 \\ y=1 \vee y=-\frac{1}{3}}\)

    Gdy \(\displaystyle{ y=1}\):
    \(\displaystyle{ x^2+4 \cdot 1^2=4 \\ x^2=0 \\ x=0}\)

    Gdy \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}}\):
    \(\displaystyle{ x^2+4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2=4 \\ x^2+\frac{4}{9}=\frac{36}{9} \\ x^2=\frac{32}{9} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{3} \vee x=-\frac{4\sqrt{2}}{3}}\)

    Więc szukamy pola trójkąta \(\displaystyle{ \Delta XYZ}\), dla \(\displaystyle{ X\left(\frac{4\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}\right)}\), \(\displaystyle{ Y\left(-\frac{4\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}\right)}\), \(\displaystyle{ Z(0,1)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ XY}\) jest równoległy do osi OX, to pole tego trójkąta wynosi:
    \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)\right) \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\left(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{8\sqrt{2}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{9}}\)

    Odpowiedź: Pole szukanego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ \frac{16\sqrt{2}}{9}}\) jednostek kwadratowych.
  2. Niech \(\displaystyle{ x, y , z}\) - szukane liczby
    Z tego, że logarytmy tych liczb tworzą ciąg arytmetyczny mamy

    \(\displaystyle{ \log y= \frac{\log x+\log z}{2}}\)
    \(\displaystyle{ y ^{2} =xz}\)

    Dalej

    \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} =39}\)

    \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} =819}\)

    czyli

    \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{z}\right)^2 + \frac{1}{z^2}-2\frac{1}{xz}=819}\)
    \(\displaystyle{ \left(39- \frac{1}{y}\right)^2- \frac{1}{y^2}=819}\)
    \(\displaystyle{ y= \frac{1}{9}}\)

    zatem

    \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} =30}\)
    \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{z^2}=738}\)

    zatem

    \(\displaystyle{ x+z= \frac{10}{27}}\)
    \(\displaystyle{ xz= \frac{1}{81}}\)

    z tych dwóch równań otrzymujemy

    \(\displaystyle{ -x^2+ \frac{10}{27}- \frac{1}{81}=0}\)

    zatem \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3} \vee x= \frac{1}{27}}\)

    Zatem ostatecznie szukane liczby to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} , \frac{1}{9} , \frac{1}{27}.}\)
  3. Mamy, że \(\displaystyle{ a_{n+1}^2=a_{n}^2+\tfrac{1}{a_{n}^2}+2}\). Ciąg \(\displaystyle{ \left(a_{n}\right)}\) jest rosnący, czyli \(\displaystyle{ a_{n} \geqslant 1}\). A zatem gdy \(\displaystyle{ n>1}\), to
    (np. przez indukcję): \(\displaystyle{ a_{n}^2=a_{1}^2+ ft(\frac{1}{a_{1}^2}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}^2}\right) +2(n-1),}\)

    czyli po podzieleniu przez \(\displaystyle{ n}\):

    \(\displaystyle{ \frac{a_{n}^2}{n}=\frac{1}{n}+ \frac{1}{n}\left(\frac{1}{a_{1}^2}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}^2}\right) + \frac{2n-2}{n}=\frac{1}{n}+ c_{n} + \frac{2n-2}{n}.}\)

    Wiemy, że ciąg \(\displaystyle{ \tfrac{1}{a_{n}^2}}\) jest zbieżny do zera. Wynika z tego, iż także ciąg

    \(\displaystyle{ b_{n}= \frac{1}{n-1}\left(\frac{1}{a_{1}^2}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}^2}\right)}\)

    jest zbieżny do zera - jako ciąg średnich arytmetycznych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \tfrac{1}{a_{n}^2}}\). Także \(\displaystyle{ c_n=\tfrac{n-1}{n} b_{n}}\) dąży do zera.
    Ostatecznie ciąg \(\displaystyle{ \tfrac{a_{n}^2}{n}}\) jest zbieżny do 2. Tak więc \(\displaystyle{ k=\tfrac{1}{2},}\) a szukana granica to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
  4. Liczba zdarzeń sprzyjających:
    \(\displaystyle{ \underbrace{C^3_{20}\cdot C^1_5}_{\mathrm{odpowie\ na\ trzy\ pytania}}+\underbrace{C^4_{20}}_{\mathrm{odpowie\ na\ cztery\ pytania}}=\frac{20!}{3!\cdot 17!}\cdot \frac{5!}{1!\cdot 4!}+\frac{20!}{4!\cdot 16!}=\\ \\=5700+4845=10545}\)

    Liczba wszystkich zdarzeń:
    \(\displaystyle{ C^4_{25}=\frac{25!}{4!\cdot 21!}=12650}\)

    Prawdopodobieństwo, że odpowie na co najmniej trzy pytania: \(\displaystyle{ P=\frac{10545}{12650}=\frac{2109}{2530}}\).

    Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej trzy spośród czterech wylosowanych pytań wynosi \(\displaystyle{ \frac{2109}{2530}}\).
Zablokowany