Na płaszczyźnie leży okrąg \(\displaystyle{ o}\) i prosta \(\displaystyle{ l,}\) która go nie przecina. Wykaż, że środki okręgów stycznych zarówno do \(\displaystyle{ l}\) jak i do \(\displaystyle{ o}\) (zewnętrznie) należą do pewnej paraboli.
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ \left(c_{n}\right)}\) określony następująco:
\(\displaystyle{ c_{1}=\frac{a}{2}, \, c_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a+c_{n}^{2}\right),}\) przy czym \(\displaystyle{ 0}\)
Ostatnio zmieniony 23 paź 2007, o 17:52 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.
Zadanie rozwiążemy wprowadzając układ współrzędnych.
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) pokrywa się z osią \(\displaystyle{ OX}\), a współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ o}\) mają postać \(\displaystyle{ (0, y_{s})}\), gdzie \(\displaystyle{ y_{s}>0}\). Dodatkowo na osi \(\displaystyle{ OY}\) przyjmijmy jednostkę równą długości promienia okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wówczas współrzędne \(\displaystyle{ (x, y)}\) środka okręgu stycznego do prostej \(\displaystyle{ l}\) oraz okręgu \(\displaystyle{ o}\) spełniają warunek:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y-y_{s})^2}=1+y}\)
tzn. odległość środków rozważanych okręgów jest równa sumie długości ich promieni. Dalej mamy: