Stosując podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin{x}+\sqrt{1+\sin^{2}{x}},}\) przedstawić je jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ t}\), tj. \(\displaystyle{ w=f(t).}\)(4pkt.)
Dla jakiej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\), wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{13}+x+90}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)=x^{2}-x+a}\)? (5pkt.)
Znajdź zbiór środków cięciw okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=25}\) przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ A(3,0)}\). (5pkt.)
__________
Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 7 października) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:
Liczby \(\displaystyle{ a_{j}}\) dla \(\displaystyle{ j=0,1,\ldots,11}\) muszą być całkowite. Można się o tym przekonać, wykonując dość długie dzielenie i wyrazić \(\displaystyle{ a_{j}}\) w zależności od \(\displaystyle{ a.}\)
Inny sposób: Łatwo stwierdzić, że \(\displaystyle{ a_{11}=a_{10}=1,}\) i jeśli \(\displaystyle{ j\leqslant 9}\) jest największym indeksem, tj. że \(\displaystyle{ a_{j}}\) nie jest całkowite, to uzyskamy, iż współczynnik \(\displaystyle{ a_{j+2}}\) także nie jest całkowity - sprzeczność.
Tak więc, jeśli \(\displaystyle{ u}\) jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ R(u)}\) także. Skoro \(\displaystyle{ a\neq 0,}\) to mamy, że całkowite są liczby: \(\displaystyle{ \tfrac{W(0)}{V(0)}=\tfrac{90}{a}}\) i \(\displaystyle{ \tfrac{W(1)}{V(1)}=\tfrac{92}{a}.}\) Stąd wynika, że \(\displaystyle{ a\in\{-1,1,-2,2\}.}\) Widać, że \(\displaystyle{ a\neq -2.}\) Ale liczby \(\displaystyle{ \tfrac{W(-1)}{V(-1)}=\tfrac{88}{a+2}}\) i \(\displaystyle{ \tfrac{W(-2)}{V(-2)}=\tfrac{-8104}{a+6}}\) też są całkowitymi, stąd wniosek, że \(\displaystyle{ a\neq 1\, a\neq -1.}\)
Czynimy założenie \(\displaystyle{ x>0, \ x\neq 1.}\) Postać równoważna: \(\displaystyle{ 2log_{x}{2}+2log_{2}{x}=5.}\) Niech \(\displaystyle{ log_{2}{x}=t,}\) tj. \(\displaystyle{ \tfrac{2}{t}+2t=5,}\) co prowadzi do równania kwadratowego \(\displaystyle{ 2t^{2}-5t+2=0.}\) Ma ono pierwiastki: \(\displaystyle{ t_{1}=2, \ t_{2}=\tfrac{1}{2}.}\) Tak więc \(\displaystyle{ x=4}\) lub \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}.}\)
Równanie prostych o wspólnym punkcie \(\displaystyle{ A(3,0)}\) ma postać \(\displaystyle{ y=m(x-3).}\) Punkty \(\displaystyle{ K_{i}(x_{1},y_{1}), \ L_{i}(x_{2},y_{2})}\) przecięcia cięciwy - zawartej w tej prostej - z okręgiem wyznaczy układ:
Aby wyznaczyć współrzędne środków cięciw, posłużymy się wzorami Viete'a: odcięta \(\displaystyle{ x_{0}=\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=\tfrac{3m^{2}}{m^{2}+1},}\) więc \(\displaystyle{ y_{0}=-\tfrac{3m}{m^{2}+1}.}\) Zaś by znaleźć równanie poszukiwanej krzywej, rugujemy parametr \(\displaystyle{ m}\) z ostatnich równań określających \(\displaystyle{ x_{0}, \ y_{0}}\) przy założeniu \(\displaystyle{ 0\leqslant x_{0}}\) Mamy, że: \(\displaystyle{ m^{2}=\tfrac{x_{0}}{3-x_{0}},}\) tj. \(\displaystyle{ m=\mp\sqrt{\tfrac{x_{0}}{3-x_{0}}},}\) co po wstawieniu do drugiego, daje nam wzór \(\displaystyle{ y_{0}=\mp\sqrt{x_{0}(3-x_{0})},}\) który podnosimy do kwadratu i grupujemy:
Krzywą, będącą zbiorem wszystkich środków cięciw okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=25,}\) zawierających punkt \(\displaystyle{ A(3,0),}\) jest więc okrąg o środku \(\displaystyle{ S\left(\tfrac{3}{2},0\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=\tfrac{3}{2},}\) a więc styczny do osi \(\displaystyle{ OY}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0).}\)
Zob. rys.: Uwaga: Jest jedna tylko cięciwa, czyli ta zawarta w prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ OX,}\) tj. mająca równanie \(\displaystyle{ x=3,}\) której "nie łapie" równanie \(\displaystyle{ y=m(x-3),}\) ale jej środkiem jest punkt \(\displaystyle{ A,}\) też leżący na wyznaczonym przez nas okręgu.