Quiz matematyczny

[Wasilewski]

Andrew Gleason?
I pytanie poza konkursem: czy ja dobrze rozumiem, że to wynika z faktu, iż każda C*-algebra posiada algebrę obwiedni, która jest von Neumanna?
Co więcej, jeśli dobrze rozumiem, to nam daje raczej coś w stylu nakryć projektywnych, a nie otoczek, więc chyba odpowiedziałem na inne pytanie.

[Spektralny]

Andrew Gleason?

Tak.

I pytanie poza konkursem: czy ja dobrze rozumiem, że to wynika z faktu, iż każda C*-algebra posiada algebrę obwiedni, która jest von Neumanna?

Nie. Istnieją zwarte przestrzenie ekstremalnie niespójne \(\displaystyle{ K}\) (a więc obiekty projektywne) o tej własności, że \(\displaystyle{ C(K)}\) nie jest dualem, a więc nie jest algebrą von Neumanna. Można jednak zawsze nakrycie Gleasona \(\displaystyle{ G(K)}\) danej przestrzeni \(\displaystyle{ K}\) utożsamić z pewnym podzbiorem spektrum \(\displaystyle{ C(K)^{**}}\) (enveloping von Neumann algebra). Nawet gdy \(\displaystyle{ A}\) jest algebrą von Neumanna, to enveloping von Neumann algebra algebry \(\displaystyle{ A}\) jest dużo większa od \(\displaystyle{ A}\), bo to po prostu \(\displaystyle{ A^{**}}\).

Co więcej, jeśli dobrze rozumiem, to nam daje raczej coś w stylu nakryć projektywnych, a nie otoczek, więc chyba odpowiedziałem na inne pytanie.

Nie znam się na polskiej terminologii (która wydaje mi się sztuczna, ale to dlatego, że matmę robię wyłącznie w języku angielskim). Miałem na myśli projective hull / cover.

Może zainteresuje Cię:

1. H. Gonshor, , Trans. Amer. Math. Soc. 131 (1968). 315-322
2. H. Gonshor, Injective hulls of C*-algebras. II., Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970), 486-491.
3. M. Hamana, , J. Math. Soc. Japan 31 (1979), 181-197.

[Wasilewski]

Jasne, przypominam sobie, że jest jeszcze teorio-miarowy warunek na to, by \(\displaystyle{ C(K)}\) było dualem. Rozumiem więc, iż jest tak, że chcemy, żeby dla przestrzeni ekstremalnie niespójnej dostawać to samo, a nie zwiększać, co jest rozsądne; to mnie zawsze jakoś martwi, że algebra obwiedni dla algebry von Neumanna jest dużo większa.

Moje pytanie: Marek Kac pytał się, czy można usłyszeć kształt bębenka. Jakie jest matematyczne sformułowanie tego zagadnienia i jaka jest odpowiedź?

[Spektralny]

\(\displaystyle{ {\rm Bębenek}}\) to pewien obszar płaszczyzny. Wartości własne

\(\displaystyle{ \begin{cases}
\Delta u + \lambda u = 0\\
u|_{\partial {\rm Bębenek} = 0
\end{cases}}\)

zależą od kształtu obszaru \(\displaystyle{ {\rm Bębenek}}\). Mamy tu więc do czynienia z problemem odwrotnym: czy możemy przewidzieć kształt tego obszaru znając tylko ciąg wartości własnych?

M. Kac, Amer. Math. Monthly 73 (1966) no. 4, part II, 1-23.

Odpowiedź na to pytanie jest negatywna (tj. istnieją dwa obszary, którym odpowiadają te same wartości własne).

C. Gordon, D. Webb, S. Wolpert, [url=http://www.ams.org/journals/bull/1992-27-01/S0273-0979-1992-00289-6/S0273-0979-1992-00289-6.pdf]One cannot hear the shape of a drum[/url], Bull. Amer. Math. Soc. 27 (1992), 134-138.

________________________________________________________________________________

Odnośnie Twojego komentarza, to \(\displaystyle{ C(K)}\) jest dualem wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ K}\) jest hiperstoneowskie, tj. na \(\displaystyle{ K}\) istnieje rodzina miar Radona, których suma nośników jest gęsta w \(\displaystyle{ K}\) oraz które znikają na zbiorach I-kategorii, tj. są normalne.

Miara \(\displaystyle{ \mu\in C(K)^*}\) jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej rosnącej i ograniczonej sieci \(\displaystyle{ (f_i)\subset C(K)_+}\) z supremum \(\displaystyle{ f}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_K f_i\,\mbox{d}\mu \longrightarrow \int_K f\,\mbox{d}\mu}\).

[Wasilewski]

Żeby było oficjalnie, to powiem, że teraz Twoja kolej.

[Spektralny]

Który matematyk wystąpił na Letnich Igrzyskach Olimpijskich i jakie jest jego najbardziej znane osiągnięcie w matematyce?

[Kamil_B]

Chodzi może o Haralda Bohra (srebro wraz z piłkarską reprezentacją Danii na Igrzyskach w 1908 , a także brat Nielsa Bohra ) i teorię funkcji ciągłych prawie okresowych (również twierdzenie Bohra-Landaua) ?

[Spektralny]

Tak jest. Zadajesz.

[Kamil_B]

Ok, może zatem coś niezbyt trudnego.

Jedną ze słynnych zasad fizycznych można sformułować matematycznie w następujacy sposób:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\left(\int_{R^{d}}|x|^{2}|f(x)|^{2} \mbox{d}x \right)^{1/2}
\left(\int_{R^{d}}|\xi|^{2}|\mathcal{F}f(\xi)|^{2} \mbox{d}\xi \right)^{1/2}\geq \frac{d}{2}||f||_{2}^{2}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{F}f}\) jest (odpowiednio zdefiniowaną) transformatą Fouriera \(\displaystyle{ f\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})}\).
O której z zasad mowa ?

Zadanie pozakonkursowe : dla jakich \(\displaystyle{ f\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})}\) mamy równość ?

[Hassgesang]

Zasada nieoznaczoności Heisenberga?

[Kamil_B]

Jasne, zadajesz.

[Hassgesang]

Może coś prostszego tym razem, mam nadzieję, że jeszcze nie było.

Jaka jest największa liczba, która znalazła jakieś praktyczne (cokolwiek by to nie znaczyło) zastosowanie?

//Co z pytaniem pozakonkursowym?

[yorgin]

Liczba Grahama?

[Hassgesang]

Doskonale, jak chcesz -- możesz napisać o jakie zastosowanie chodzi, no i zadać swoje pytanie

[yorgin]

Mogę podać nawet link do filmu o tej liczbie Opowiadano o niej na kanale numberphile na yt:



Pytanie pomocnicze: standardowa kostka Rubika o wymiarach 3x3x3 składa się z 26 klocków. Ile z nich właściwie należy ułożyć?

Pytanie zasadnicze: ile klocków należy ułożyć na swoje miejsce w kostce o wymiarach 6x6x6 oraz 7x7x7 ?

Do dzieła. Liczcie

Pozakonkursowe: ile klocków na kostce n x n x n ?