Matematyka.pl

jgarnek pisze:(może jeszcze nie jest za późno )

Lewa nierówność:    

Zauważmy, że dla k=n+1, n+2, ... 2n mamy:
\(\displaystyle{ k \ge 2}\) więc po wymnożeniu tego dla \(\displaystyle{ k=n+1, n+2, ... 2n}\) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{n!}=2n \cdot (2n-1)...(n+1) \ge 2^n}\)

Stąd \(\displaystyle{ 2^n \cdot n! \le (2n)!}\), czyli
\(\displaystyle{ 2^n \cdot n! \le 1\cdot 2 \cdot... \cdot(2n)\le (m-n+1)\cdot\ldots\cdot(m+n)=\frac{(m+n)!}{(m-n)!}}\)
(ponieważ \(\displaystyle{ i \le m-n+i}\) dla i=1,..., 2n)

Prawa nierówność:    

Zauważmy, że dla i=1,...,n mamy: \(\displaystyle{ i \ge1 \Rightarrow i \le i^2}\), więc
\(\displaystyle{ (m-i+1)(m+i) =m^2-i^2 +m+i \le m^2+m}\)

Wymnażając te nierówności dla i=1,...,n:
\(\displaystyle{ (m-n+1)(m-n+2)...(m+n)=\frac{(m+n)!}{(m-n)!}\le (m^2+m)^n}\)

Damianito pisze:

Ukryta treść:    

Lewa nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m-n)!}=(m+n)(m+(n-1))...(m-n+1)\geq (n+n)(n+(n-1))...(n-n+1) = 2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)n!\geq (n+1)^nn! \geq 2^nn!}\)

Prawa nierówność:

Przy ustalonym \(\displaystyle{ m}\), dowodzimy indukcyjnie po \(\displaystyle{ n}\) (aż do \(\displaystyle{ n=m}\)). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy po prostu \(\displaystyle{ (m+1)m\leq m^2+m}\), czyli nawet równość. Załóżmy teraz, że dla \(\displaystyle{ n=k<m}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{(m+k)!}{(m-k)!}\leq (m^2+m)^k}\). Dla \(\displaystyle{ n=k+1}\) otrzymujemy wówczas
\(\displaystyle{ \frac{(m+(k+1))!}{(m-(k+1))!}=\frac{(m+k)!}{(m-k)!}(m+k+1)(m-k)\leq (m^2+m)^k(m^2-k^2+m-k)<(m^2+m)^{k+1}}\), co kończy dowód indukcyjny.

KameleonFCB pisze:

Ukryta treść:    

Aby pokazać , że zachodzi \(\displaystyle{ 2^n n! \le \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n}\) , wystarczy wykazać iż \(\displaystyle{ \begin{cases} 2^n n! \le \frac{(m+n)!}{(m-n)!} (1) \\ \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n (2) \end{cases}}\)

Ad.1
Dowód indukcyjny po n.
1.1
Sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 2^1 \cdot1! \le \frac{(m+1)!}{(m-1)!} \Leftrightarrow 2 \le m \cdot (m+1)}\), co jest oczywiste, poniewaź \(\displaystyle{ n \in N}\)
1.2
Teraz wystarczy wykazać , że zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ 2^n n! \le \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \Rightarrow 2^{n+1} (n+1)! \le \frac{(m+n+1)!}{(m-n-1)!}}\)
\(\displaystyle{ 2^{n+1}(n+1)!=2(n+1) \cdot 2^n n! \le2(n+1) \frac {(m+n)!}{(m-n)!}}\)
Aby zakończyć dowód nierówności (1) należy wykazać :
\(\displaystyle{ 2(n+1) \frac {(m+n)!}{(m-n)!} \le \frac{(m+n+1)!}{(m-n-1)!} \\ \Leftrightarrow \frac{2(n+1)}{m-n} \le m+n+1 \\ \Leftrightarrow 2(n+1) \le (m+n+1)(m-n) \\ \Leftrightarrow n^2+3n+2 \le m^2+m}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ m=n+t}\) , gdzie \(\displaystyle{ t \in N}\) (Łatwo widzieć , ze dla \(\displaystyle{ n=m}\) nierówność zachodzi )
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow n^2+3n+2 \le n^2 +2nt+t^2+n+t \Leftrightarrow 2(n+1) \le 2nt+t^2+t}\)
Co otrzymujemy po zsumowaniu następujących nierówności :
\(\displaystyle{ 2n \le 2nt \\
2 \le t^2+t}\)
Ad.2
\(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n}\)
Indukcja po n.
2.1
Sprawdzenie dla n=1
\(\displaystyle{ \frac {(m+n+1)!}{(m-n-1)!} \le m^2+m \Leftrightarrow m \cdot (m+1) \le m \cdot (m+1)}\)
Co oczywiście jest prawdą.
2.2
Pozostało nam pokazać , że:
\(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n \Rightarrow \frac{(m+n+1)!}{(m-n-1)!} \le (m^2+m)^{n+1} \\ \frac{(m+n+1)!}{(m-n-1)!} = \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \cdot {(m+n+1)}{(m-n)} \le (m^2+m)^n \cdot {(m+n+1)}{(m-n)}}\)
Zatem wystarczy wykazać , iż :
\(\displaystyle{ (m^2+m)^n \cdot {(m+n+1)}{(m-n)} \le (m^2+m)^{n+1} \Leftrightarrow (m+n+1)(m-n) \le m^2+m \Leftrightarrow n^2+n \ge 0}\)
Co jest oczywiste
Na mocy indukcji matematycznej stwierdzam , że podana nierówność jest spełniona dla każdych \(\displaystyle{ n \le m}\) , \(\displaystyle{ n,m \in N}\)