Przy ustalonym \(\displaystyle{ m}\), dowodzimy indukcyjnie po \(\displaystyle{ n}\) (aż do \(\displaystyle{ n=m}\)). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy po prostu \(\displaystyle{ (m+1)m\leq m^2+m}\), czyli nawet równość. Załóżmy teraz, że dla \(\displaystyle{ n=k<m}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{(m+k)!}{(m-k)!}\leq (m^2+m)^k}\). Dla \(\displaystyle{ n=k+1}\) otrzymujemy wówczas \(\displaystyle{ \frac{(m+(k+1))!}{(m-(k+1))!}=\frac{(m+k)!}{(m-k)!}(m+k+1)(m-k)\leq (m^2+m)^k(m^2-k^2+m-k)<(m^2+m)^{k+1}}\), co kończy dowód indukcyjny.
Trzecie rozwiązanie:
KameleonFCB pisze:
Ukryta treść:
Aby pokazać , że zachodzi \(\displaystyle{ 2^n n! \le \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n}\) , wystarczy wykazać iż \(\displaystyle{ \begin{cases} 2^n n! \le \frac{(m+n)!}{(m-n)!} (1) \\ \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n (2) \end{cases}}\)
Ad.1
Dowód indukcyjny po n.
1.1
Sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=1}\) \(\displaystyle{ 2^1 \cdot1! \le \frac{(m+1)!}{(m-1)!} \Leftrightarrow 2 \le m \cdot (m+1)}\), co jest oczywiste, poniewaź \(\displaystyle{ n \in N}\)
1.2
Teraz wystarczy wykazać , że zachodzi implikacja: \(\displaystyle{ 2^n n! \le \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \Rightarrow 2^{n+1} (n+1)! \le \frac{(m+n+1)!}{(m-n-1)!}}\) \(\displaystyle{ 2^{n+1}(n+1)!=2(n+1) \cdot 2^n n! \le2(n+1) \frac {(m+n)!}{(m-n)!}}\)
Aby zakończyć dowód nierówności (1) należy wykazać : \(\displaystyle{ 2(n+1) \frac {(m+n)!}{(m-n)!} \le \frac{(m+n+1)!}{(m-n-1)!} \\ \Leftrightarrow \frac{2(n+1)}{m-n} \le m+n+1 \\ \Leftrightarrow 2(n+1) \le (m+n+1)(m-n) \\ \Leftrightarrow n^2+3n+2 \le m^2+m}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ m=n+t}\) , gdzie \(\displaystyle{ t \in N}\) (Łatwo widzieć , ze dla \(\displaystyle{ n=m}\) nierówność zachodzi ) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow n^2+3n+2 \le n^2 +2nt+t^2+n+t \Leftrightarrow 2(n+1) \le 2nt+t^2+t}\)
Co otrzymujemy po zsumowaniu następujących nierówności : \(\displaystyle{ 2n \le 2nt \\
2 \le t^2+t}\)
Ad.2 \(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n}\)
Indukcja po n.
2.1
Sprawdzenie dla n=1 \(\displaystyle{ \frac {(m+n+1)!}{(m-n-1)!} \le m^2+m \Leftrightarrow m \cdot (m+1) \le m \cdot (m+1)}\)
Co oczywiście jest prawdą.
2.2
Pozostało nam pokazać , że: \(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n \Rightarrow \frac{(m+n+1)!}{(m-n-1)!} \le (m^2+m)^{n+1} \\ \frac{(m+n+1)!}{(m-n-1)!} = \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \cdot {(m+n+1)}{(m-n)} \le (m^2+m)^n \cdot {(m+n+1)}{(m-n)}}\)
Zatem wystarczy wykazać , iż : \(\displaystyle{ (m^2+m)^n \cdot {(m+n+1)}{(m-n)} \le (m^2+m)^{n+1} \Leftrightarrow (m+n+1)(m-n) \le m^2+m \Leftrightarrow n^2+n \ge 0}\)
Co jest oczywiste
Na mocy indukcji matematycznej stwierdzam , że podana nierówność jest spełniona dla każdych \(\displaystyle{ n \le m}\) , \(\displaystyle{ n,m \in N}\)