Problem Tygodnia #5
: 9 maja 2011, o 00:18
Czy można "pokolorować" wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste dziesięcioma kolorami w ten sposób, aby pary liczb różniących się w swojej reprezentacji dziesiętnej na dokładnie jednym miejscu miały różne kolory?
ps. Nie bierzemy pod uwagę liczb, które od pewnego miejsca mają same dziewiątki, np. 0,(9).
Rozwiązania proszę przesyłać na .-- 16 maja 2011, 00:07 --Oto nadesłane rozwiązanie:
ps. Nie bierzemy pod uwagę liczb, które od pewnego miejsca mają same dziewiątki, np. 0,(9).
Rozwiązania proszę przesyłać na .-- 16 maja 2011, 00:07 --Oto nadesłane rozwiązanie:
marcin_smu - proszę podaj adres na który mamy wysłać nagrodę. Gratulacje!marcin_smu pisze:Podzielmy wszystkie rozpatrywane liczby na zbiory. Tak aby dwie liczby były w tym samym zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy różnią się na skończenie wielu cyfrach po przecinku. Możemy tak zrobić ponieważ relacja ta jest przechodnia (jeśli a i b oraz b i c różnią się na skończenie wielu cyfrach to również w oczywisty sposób a i c różnią się na skończenie wielu cyfrach). Liczby należące do różnych zbiorów możemy kolorować niezależnie ponieważ każde dwie różnią się na więcej niż jednej cyfrze. Wystarczy więc udowodnić, że umiemy pokolorować jeden z takich zbiorów. Wybierzmy z niego jeden element nazwijmy go A, który pomalujemy dowolnym kolorem. Resztę liczb pomalujmy względem A tak, aby dla każdego B [suma po pozycjach, na których różnią się A i B(jest ich skończenie wiele) cyfra w A minus cyfra w B (na danej pozycji)] przystawała do [różnicy koloru A minus kolor B] modulo 10. Łatwo zauważyć, że tylko cyfry różnice się na co najmniej dwóch pozycjach mogą mieć ten sam kolor, więc kolorowanie spełnia warunki zadania.