Problem Tygodnia #5

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Problem Tygodnia #5

Post autor: Liga » 9 maja 2011, o 00:18

Czy można "pokolorować" wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste dziesięcioma kolorami w ten sposób, aby pary liczb różniących się w swojej reprezentacji dziesiętnej na dokładnie jednym miejscu miały różne kolory?

ps. Nie bierzemy pod uwagę liczb, które od pewnego miejsca mają same dziewiątki, np. 0,(9).


Rozwiązania proszę przesyłać na .-- 16 maja 2011, 00:07 --Oto nadesłane rozwiązanie:
marcin_smu pisze:Podzielmy wszystkie rozpatrywane liczby na zbiory. Tak aby dwie liczby były w tym samym zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy różnią się na skończenie wielu cyfrach po przecinku. Możemy tak zrobić ponieważ relacja ta jest przechodnia (jeśli a i b oraz b i c różnią się na skończenie wielu cyfrach to również w oczywisty sposób a i c różnią się na skończenie wielu cyfrach). Liczby należące do różnych zbiorów możemy kolorować niezależnie ponieważ każde dwie różnią się na więcej niż jednej cyfrze. Wystarczy więc udowodnić, że umiemy pokolorować jeden z takich zbiorów. Wybierzmy z niego jeden element nazwijmy go A, który pomalujemy dowolnym kolorem. Resztę liczb pomalujmy względem A tak, aby dla każdego B [suma po pozycjach, na których różnią się A i B(jest ich skończenie wiele) cyfra w A minus cyfra w B (na danej pozycji)] przystawała do [różnicy koloru A minus kolor B] modulo 10. Łatwo zauważyć, że tylko cyfry różnice się na co najmniej dwóch pozycjach mogą mieć ten sam kolor, więc kolorowanie spełnia warunki zadania.
marcin_smu - proszę podaj adres na który mamy wysłać nagrodę. Gratulacje!

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

Problem Tygodnia #5

Post autor: marcin_smu » 22 lip 2012, o 02:55

marcin_smu - proszę podaj adres na który mamy wysłać nagrodę. Gratulacje!
hmm... szybko się zorientowałem, że coś wygrałem xD
Piszę, bo wysłałem dziś ten adres na PW ligi, a pewnie od wieków tam nikt nie zagląda

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Problem Tygodnia #5

Post autor: scyth » 23 lip 2012, o 12:01

marcin_smu no nikt tam nie zaglada bo liga na razie nie dziala. A co do nagrody to nie pamietam nawet co wtedy bylo Wyslij mi dane to cos sie wymysli.

ODPOWIEDZ