Matematyka.pl

Wpiszmy czworościan w równoległościan. Oczywistym jest, że równoległościan ma objętość trzy razy większą niż czworościan w niego wpisany.


Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \frac{AB \cdot CD}{2} = \frac{C_1D_1 \cdot CD}{2}= 2CX \cdot XC_1}\)


\(\displaystyle{ P_{CC_1DD_1}=CX \cdot XC_1 \cdot sin \sphericalangle CXC_1 +XC_1 \cdot DX \cdot sin \sphericalangle C_1XD= CX \cdot XC_1 \cdot (sin \sphericalangle CXC_1+sin \sphericalangle C_1XD) \le CX \cdot XC_1 \cdot 2}\)

Zatem \(\displaystyle{ P_{CC_1DD_1} \le \frac{AB \cdot CD}{2}}\)

Stąd:
(1)\(\displaystyle{ P_{CC_1DD_1} \cdot P_{BB_1CC_1} \cdot P_{A_1DC_1B} \le \frac{AB \cdot BC \cdot CA \cdot AD \cdot BD \cdot CD}{8}}\)

Zauważmy jeszcze, że:
\(\displaystyle{ \frac{P_{CC_1DD_1}}{3V} = \frac{1}{h_{CC_1DD_1}}}\), gdzie \(\displaystyle{ h_{CC_1DD_1}}\) to wysokość opuszczona na ścianę \(\displaystyle{ CC_1DD_1}\)

Wynika z tego, że:
(2)\(\displaystyle{ \frac{P_{CC_1DD_1} \cdot P_{BB_1CC_1} \cdot P_{A_1DC_1B}}{27V^3} = \frac{1}{h_{CC_1DD_1} \cdot h_{BB_1CC_1} \cdot h_{A_1DC_1B}} \ge \frac{1}{3V}}\) (w oczywisty sposób)

Łącząc (1) i (2) otrzymujemy żądaną nierówność.