Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, ... , x_n}\) spełniają (przy ustalonym n) warunek:
\(\displaystyle{ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + ... + x_{n}^{2} = 1}\)
Wykazać, że zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{x_1}{1+x_{1}^{2}} + \frac{x_2}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} + \frac{x_3}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} + ... + \frac{x_n}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ ... + x_{n}^{2}} \leq \sqrt{ \frac{n}{2}}}\)
ZADANIE 2
ABC jest trójkątem ostrokątnym. Niech D będzie takim punktem na boku BC, że prosta zawierająca odcinek AD jest dwusieczną kąta przy wierzchołku A tego trójkąta. Niech E, F będą obrazami rzutów punktu D odpowiednio na boki: AC, AB. Załóżmy, że odcinki BE i CF przecinają się w H. Okrąg opisany na trójkącie AFH przecina BE w G (różne od H). Udowodnić, że z odcinków BG, GE i BF można utworzyć trójkąt prostokątny.
ZADANIE 3
Dla danej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k>1}\), znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R R}\), że dla każdych \(\displaystyle{ x,y R}\), \(\displaystyle{ f(x^{k} + f(y)) = y + (f(x))^{k}}\)
Note:
Do zawodów Ligi można przystąpić w każdym momencie. Wysłanie któregokolwiek z rozwiązań jest równoznaczne z akceptacją faktów:
- bycia "wpisanym" na listę Uczestników,
- ewentualnej publikacji prawidłowego rozwiązania na Forum,
- publicznego powiadamiania o ocenach Uczestnika za daną serię,
- uwzględnienia pozycji Uczestnika w całościowej klasyfikacji Ligi do momentu jej zakończenia.