[Liga XII.2006 - Zadania]

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Awatar użytkownika
Arek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: Arek »

LIGA GRUDNIOWA - I SERIA ZADAŃ (termin - 20 grudnia)
ZADANIE 1

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, ... , x_n}\) spełniają (przy ustalonym n) warunek:

\(\displaystyle{ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + ... + x_{n}^{2} = 1}\)

Wykazać, że zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{x_1}{1+x_{1}^{2}} + \frac{x_2}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} + \frac{x_3}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} + ... + \frac{x_n}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ ... + x_{n}^{2}} \leq \sqrt{ \frac{n}{2}}}\)

ZADANIE 2

ABC jest trójkątem ostrokątnym. Niech D będzie takim punktem na boku BC, że prosta zawierająca odcinek AD jest dwusieczną kąta przy wierzchołku A tego trójkąta. Niech E, F będą obrazami rzutów punktu D odpowiednio na boki: AC, AB. Załóżmy, że odcinki BE i CF przecinają się w H. Okrąg opisany na trójkącie AFH przecina BE w G (różne od H). Udowodnić, że z odcinków BG, GE i BF można utworzyć trójkąt prostokątny.

ZADANIE 3

Dla danej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k>1}\), znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R R}\), że dla każdych \(\displaystyle{ x,y R}\), \(\displaystyle{ f(x^{k} + f(y)) = y + (f(x))^{k}}\)


Powodzenia!!!



Note:

Do zawodów Ligi można przystąpić w każdym momencie. Wysłanie któregokolwiek z rozwiązań jest równoznaczne z akceptacją faktów:

- bycia "wpisanym" na listę Uczestników,
- ewentualnej publikacji prawidłowego rozwiązania na Forum,
- publicznego powiadamiania o ocenach Uczestnika za daną serię,
- uwzględnienia pozycji Uczestnika w całościowej klasyfikacji Ligi do momentu jej zakończenia.
Ostatnio zmieniony 31 gru 2006, o 10:46 przez Arek, łącznie zmieniany 2 razy.
palazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: palazi »

Więc ja wysuwam taką propozycję... ostatnio miałem bardzo napiętą sytuację w sql (klasówki, pytania etc.) i jeszcze ten tydzien będzie tak samo (to ostatni tydzień kiedy można wystawiać oceny na półrocze --> tak jestem w III kl.) no i prosiłbym o dodanie do terminu nadsyłania rozwiązań jeszcze z tydzień... Jak do tej pory to 3 godziny myślałem nad tą nierównoscią, a dwóch pozostałych zadań nawet dobrze nie przeczytałem - brak czasu niestety :/
Awatar użytkownika
Arek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: Arek »

Hmmm... nie widzę przeszkód, termin może być do 20 grudnia.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: mol_ksiazkowy »

popieram moich przedmowccow, ...to juz chyba lepiej przedłuzyc -zwazywszy na okres swiateczno sylwestrowy do konca grudnia , zeby ludzie mieli spokojnie czas, ja tez np chetni porozwiazuje ale w tym tygodniu raczej czasu nie znajde.... , bo zagoniony jestem w pietke...
Awatar użytkownika
Arek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: Arek »

Panowie, zdaje mi się, że było życzenie dynamicznych zawodów. Mam nadzieję, że mimo wszystko uda się w tym terminie (do 20 grudnia) znaleźć trochę czasu. Szczerze powiedziawszy do 4 stycznia to jest planowana II seria
Czesio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 30 wrz 2005, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: Czesio »

Ups myslałem, że liga jest do 22 i ostatecznie nie wysłałem rozw. do 3
MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: MarcinT »

ja nie wysłałem nic bo nie dałem rady czegokolwiek zrobić.
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: Liga »

Zadania istotnie były trudne, pierwsze było z finału olimpiady Koreańskiej, pozostałe dwa z Chińskiego TST. Oto odnośniki do prób (zakończonych sukcesem) rozwiązań z mathlinks.ro:

Zad 1:

... rt&t=82717
... 00#p422500

Zad 2:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 47#p346547

Zad 3:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 25#p239325
MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: MarcinT »

Pozostaje miec nadzieje ze bedzie druga seria, bo pewnie rozwiazan nie nadplynelo bardzo duzo
palazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: palazi »

Arek pisze:...Szczerze powiedziawszy do 4 stycznia to jest planowana II seria
... poważnie? Czekamy więc na zadania
Awatar użytkownika
Arek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: Arek »

Hmmm... mam poważne wątpliwości, jakoś nie chce mi się wierzyć, że frekwencja niespodziewanie wzrośnie. Niemniej jednak, możemy podjąć jeszcze jedną próbę, jutro podam zadania II serii.
MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[Liga XII.2006 - Zadania]

Post autor: MarcinT »

Viva la Arek ;P
ODPOWIEDZ