Skąd się wzięły dane twierdzenia i założenia?
: 3 sty 2009, o 12:13
Poszukuję pewnej książki do analizy matematycznej. Chodzi mi o to aby książka ta zawierała informację o ciagach, szeregach liczbowych no i całkach. Wolę jednak aby było wyjaśnione po co się wykonuje dane działanie matematyczne niż puste definicje. Trochę to głupio brzmi, więc może na przykładze wyjaśnię sensu istnienia takiego czegoś jak logarytm,
jak wiadomo:
\(\displaystyle{ 2 + 3 = 5 \\ 2 = 5 - 3 \\ 3=5-2}\)
przedstawiłem 3 liczby za pomocą 3 działań, podobnie:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 = 6 \\ 2 = 6 : 3 \\ 3 = 6 : 2}\)
i znów, trzy liczby przedstawione za pomocą 3 różnych działań, dalej:
\(\displaystyle{ 8 = 2^3 \\ 2 = \sqrt[3]{8}}\)
No i teraz jest problem - za pomocą jakiego działania przedstawić liczbę 3 ? No i właśnie wprowadzono brakujące działanie: \(\displaystyle{ 3 = \log_2 8}\).
Następnym problemem jakie spotykam w podręcznikach są założenia. Jak wiadomo
\(\displaystyle{ \log_ca=b \Leftrightarrow c^b = a}\) konieczne są jednak założenia:
\(\displaystyle{ c \neq 1 \wedge c> 0 \wedge b > 0}\)
Popatrzcie:
\(\displaystyle{ \log_{-2} (-2)^3}\) złamałem każde z założeń, a jednak ten logarytm z definicji jest równy 3. Skąd zatem te założenia?
Dowiedziałem się że założenia te są potrzebne gdyż bez nich funkcja logarytmiczna nie byłaby odwrotna do funkcji wykładniczej, innymi słowy mówiąc jeśli \(\displaystyle{ y = a^x}\) to funkcją odwrotną jest \(\displaystyle{ y = \log_a x}\), pilnując założeń i nanosząc wykresy tych funkcji w układzie współrzędnych okazało by się iż są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\), i o to chodzi.
No i dalej, mam funkcje \(\displaystyle{ y = x^2}\), jej pochodna to \(\displaystyle{ y'=2x}\) no i co z tego? Co z tego że policzyłem pochodną skoro nie wiem po co to zrobiłem? W jakim celu? I co to w ogóle jest? To samo z całką \(\displaystyle{ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C}\). Policzyłem całkę i co mi po tym jak nie wiem po co to zrobiłem i w jakim celu? Korzystając z samych definicji nie zrozumiem problemu.
Mam nadzieję, że wyjaśniłem o co chodzi, zdaję sobie jednocześnie sprawę że takiej książki może po prostu nie być, ale być może ktoś zna taką pozycje, która by wyjaśniała te zjawiska. Również czekam na propozycje, które nie do końca by to wyjaśniały, ale Waszym zdaniem są najodpowiedniejsze. Po prostu w czasie ferii chciałbym troszkę poczytać o tym. Mile widziane byłyby również w pełni rozwiązane przykłady, ale to jest mniejszy problem bo takowe są w wielu książkach. Chodziło by mi prędzej o dowody, takie jak dlaczego granicą danego ciągu jest właśnie taka a nie inna liczba. Samych zadań książka nie musi zawierać, przecież od tego są zbiory zadań.
Przydałaby mi się taka książka bo wówczas wszystko łatwiej zrozumieć, a rozwiązując dany przykład wie się co i po co się rozwiązało, a to jest sama przyjemność...
jak wiadomo:
\(\displaystyle{ 2 + 3 = 5 \\ 2 = 5 - 3 \\ 3=5-2}\)
przedstawiłem 3 liczby za pomocą 3 działań, podobnie:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 = 6 \\ 2 = 6 : 3 \\ 3 = 6 : 2}\)
i znów, trzy liczby przedstawione za pomocą 3 różnych działań, dalej:
\(\displaystyle{ 8 = 2^3 \\ 2 = \sqrt[3]{8}}\)
No i teraz jest problem - za pomocą jakiego działania przedstawić liczbę 3 ? No i właśnie wprowadzono brakujące działanie: \(\displaystyle{ 3 = \log_2 8}\).
Następnym problemem jakie spotykam w podręcznikach są założenia. Jak wiadomo
\(\displaystyle{ \log_ca=b \Leftrightarrow c^b = a}\) konieczne są jednak założenia:
\(\displaystyle{ c \neq 1 \wedge c> 0 \wedge b > 0}\)
Popatrzcie:
\(\displaystyle{ \log_{-2} (-2)^3}\) złamałem każde z założeń, a jednak ten logarytm z definicji jest równy 3. Skąd zatem te założenia?
Dowiedziałem się że założenia te są potrzebne gdyż bez nich funkcja logarytmiczna nie byłaby odwrotna do funkcji wykładniczej, innymi słowy mówiąc jeśli \(\displaystyle{ y = a^x}\) to funkcją odwrotną jest \(\displaystyle{ y = \log_a x}\), pilnując założeń i nanosząc wykresy tych funkcji w układzie współrzędnych okazało by się iż są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\), i o to chodzi.
No i dalej, mam funkcje \(\displaystyle{ y = x^2}\), jej pochodna to \(\displaystyle{ y'=2x}\) no i co z tego? Co z tego że policzyłem pochodną skoro nie wiem po co to zrobiłem? W jakim celu? I co to w ogóle jest? To samo z całką \(\displaystyle{ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C}\). Policzyłem całkę i co mi po tym jak nie wiem po co to zrobiłem i w jakim celu? Korzystając z samych definicji nie zrozumiem problemu.
Mam nadzieję, że wyjaśniłem o co chodzi, zdaję sobie jednocześnie sprawę że takiej książki może po prostu nie być, ale być może ktoś zna taką pozycje, która by wyjaśniała te zjawiska. Również czekam na propozycje, które nie do końca by to wyjaśniały, ale Waszym zdaniem są najodpowiedniejsze. Po prostu w czasie ferii chciałbym troszkę poczytać o tym. Mile widziane byłyby również w pełni rozwiązane przykłady, ale to jest mniejszy problem bo takowe są w wielu książkach. Chodziło by mi prędzej o dowody, takie jak dlaczego granicą danego ciągu jest właśnie taka a nie inna liczba. Samych zadań książka nie musi zawierać, przecież od tego są zbiory zadań.
Przydałaby mi się taka książka bo wówczas wszystko łatwiej zrozumieć, a rozwiązując dany przykład wie się co i po co się rozwiązało, a to jest sama przyjemność...