Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 17 lut 2017, o 00:43

I taki sam wniosek, że \(\displaystyle{ 1=2}\) płynie z paradoksu Banacha-Tarskiego

Nieprawda. Tak się może tylko wydawać osobie nieobeznanej z wyższą matematyką, w szczególności z teorią miary (nie twierdzę, że ja jestem obeznany).

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 17 lut 2017, o 01:20

Gouranga pisze:\(\displaystyle{ 1 = \frac{2}{3-1} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-1}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
2 = \frac{2}{3-2} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-2}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
1 = 2}\)

I taki sam wniosek, że \(\displaystyle{ 1=2}\) płynie z paradoksu Banacha-Tarskiego

Ani pierwszy ani drugi wniosek nie jest poprawny; Wystarczy kolejne przekształcenia ułamka przedstawić jako wyrazy ciągu; jeśli ciąg jest zbieżny, to nie ma problemu - granica w nieskończoności będzie jedna. Jeśli rozbieżny, to nie możemy tak sobie porównywać wyników.

A co do paradoksu Banacha-Tarskiego, to niemierzalność w sensie Lebesgue'a sprawia, że te kule, w istocie nie są takie same. Zgodnie z treścią wspomnianego paradoksu, mają te same promienie, ale nie jesteśmy w stanie wyznaczyć ich objętości; wypełnienia. To tak jakbyś powiedział, że ziarnko grochu = słońce, bo przecież i to w teorii mnogości ma miejsce...

I nie - nie jestem obeznany w tej wyższej matmie; po prostu dużo o tym czytałem i mniej-więcej to zrozumiałem (mierzalność w sensie Lebesgue'a nie jest dość trudna do zrozumienia, chyba xD

Post autor: **Jan Kraszewski** » 17 lut 2017, o 02:27

PoweredDragon pisze:A co do paradoksu Banacha-Tarskiego, to niemierzalność w sensie Lebesgue'a sprawia, że te kule, w istocie nie są takie same. Zgodnie z treścią wspomnianego paradoksu, mają te same promienie, ale nie jesteśmy w stanie wyznaczyć ich objętości; wypełnienia.

Oj, chyba nie zrozumiałeś. Objętość kuli zawsze możesz wyznaczyć i te kule są takie same. Niemierzalne są kawałki, na które dzielisz.

JK

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 17 lut 2017, o 10:35

Oj, chyba nie zrozumiałeś. Objętość kuli zawsze możesz wyznaczyć i te kule są takie same. Niemierzalne są kawałki, na które dzielisz.

Tak tak; mój błąd, przepraszam.

krl · Post autor: **krl** » 17 lut 2017, o 23:46

PoweredDragon pisze:
Gouranga pisze:\(\displaystyle{ 1 = \frac{2}{3-1} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-1}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
2 = \frac{2}{3-2} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-2}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
1 = 2}\)

I taki sam wniosek, że \(\displaystyle{ 1=2}\) płynie z paradoksu Banacha-Tarskiego
Ani pierwszy ani drugi wniosek nie jest poprawny; Wystarczy kolejne przekształcenia ułamka przedstawić jako wyrazy ciągu; jeśli ciąg jest zbieżny, to nie ma problemu - granica w nieskończoności będzie jedna. Jeśli rozbieżny, to nie możemy tak sobie porównywać wyników.

To nie tak. Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}}\) nie określa jednej liczby. Ono ma charakter "fraktalny" i w związku z tym można sensownie przypisać mu tylko dwie wartości liczbowe:\(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\). Mianowicie, załóżmy, że \(\displaystyle{ a=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}}\). Z uwagi na fraktalny charakter tego wyrażenia mamy:
\(\displaystyle{ a=\frac{2}{3-a}}\). To równanie ma dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
Podobnie niejednoznacznie można rozumieć pierwiastek kwadratowy: \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\) jako \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ -2}\) (choć tu akurat przyjmuje się konwencję, że ten pierwiastek to liczba nieujemna, co wyklucza \(\displaystyle{ -2}\)).

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 18 lut 2017, o 07:57

krl pisze:
PoweredDragon pisze:
Gouranga pisze:\(\displaystyle{ 1 = \frac{2}{3-1} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-1}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
2 = \frac{2}{3-2} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-2}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
1 = 2}\)

Rozwiązanie tego ułamka =/= rozwiązanie równania. To co ty robisz, to liczenie granicy, jeśli istnieje (a istnieje; czasem jednak trzeba coś odrzucić). Wyrażenie, które zapisałeś jest zbieżne i ma wartość 1. Inny przykład?

\(\displaystyle{ 4 = \sqrt{16} = \sqrt{1 + 2\sqrt{\frac{225}{4}}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{1+3\sqrt{\frac{48841}{144}}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4...}}}}\)
\(\displaystyle{ 3 = \sqrt{9} = \sqrt{1 +2\sqrt{16}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4...}}}}\)
Ale to nie oznacza, że \(\displaystyle{ 3 = 4}\), bo
\(\displaystyle{ \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4...}}}}\) jest zbieżny, co więcej \(\displaystyle{ \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4...}}} = 3}\)

Polecam na przykład:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=leFep9yt3JY

krl · Post autor: **krl** » 18 lut 2017, o 08:25

PoweredDragon pisze:Wyrażenie, które zapisałeś jest zbieżne i ma wartość 1.

Wiadomo, co to znaczy, że ciąg czy szereg jest zbieżny. W przypadku "zbieżności" innych wyrażeń wchodzimy na grząski grunt. Niekiedy na mocy umowy (konwencji) przyjmuje się określoną interpretację danego wyrażenia, tak jak np. w przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\). Warto sobie uświadomić umowny charakter takich interpretacji.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 18 lut 2017, o 11:42

krl pisze:W przypadku "zbieżności" innych wyrażeń wchodzimy na grząski grunt. Niekiedy na mocy umowy (konwencji) przyjmuje się określoną interpretację danego wyrażenia, tak jak np. w przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\). Warto sobie uświadomić umowny charakter takich interpretacji.

Pojęcie zbieżności ułamka łańcuchowego jest dobrze określone i nawet daleko nie trzeba go szukać (Wiki)

Jakub Gurak · Post autor: **Jakub Gurak** » 19 lut 2017, o 02:14

Wszystkie zadania: oblicz \(\displaystyle{ \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4...}}}}\), oblicz \(\displaystyle{ \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}}\) -tego typu- to nie są jasno postawione pytania. Co niby ten wielokropek ma oznaczać Ciąg nieskończony i jego granica? A ja tu nie widzę w ogóle ciągu. Nawet nie widzę jego pierwszych wyrazów. Bo niby jakie Widzę tylko otwieranie pewnych działań, i co w nieskończoności to się samo zamkną

Myślę że zamiast tego lepiej zająć się poniższym twierdzeniem (przez \(\displaystyle{ X ^{*}}\) oznaczamy zbiór wszystkich ciągów skończonych o wyrazach ze zbioru \(\displaystyle{ X}\)):

Niech \(\displaystyle{ Z}\) będzie niepustym zbiorem. Dla każdego \(\displaystyle{ z\in Z}\) i dla każdej funkcji \(\displaystyle{ h: Z ^{*} \times \NN\rightarrow Z}\) istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ f: \NN\rightarrow Z}\) spełniająca równości:

\(\displaystyle{ f\left( 0\right)=z \hbox{ i **} f\left( n ^{\prime}\right)=h\left( \ \ f \cap \left( O(n ^{\prime}) \times Z\right),n \right) \quad\hbox{ gdzie w }\left( \NN, \le\right)}\)

\(\displaystyle{ n ^{\prime}}\) oznacza następnik \(\displaystyle{ n}\)- \(\displaystyle{ n+1 \ \ O(n)=\left\{ m\in \NN\biggl | \ \ m<n\right\}}\).

Twierdzenie to mówi że jeśli określimy sposób konstrukcji ciągu podając jego wyraz zerowy, a następnie w dalszych krokach gdy określimy sposób konstrukcji na argumencie \(\displaystyle{ n}\) na podstawie wszystkich wartości tego ciągu określonych na liczbach naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ n}\) ( czyli na podstawie kroków wcześniejszych) oraz na podstawie wartości \(\displaystyle{ n}\) to wyznaczymy dokładnie jeden ciąg nieskończony, który idzie zgodnie z naszym konstruowaniem.

Jest to o tyle lepszy temat, że jest to problem postawiony rzetelnie.

smieszek · Post autor: **smieszek** » 29 maja 2017, o 13:12

Odkopuję temat

Oto najpiękniejszy wzór w matematyce!
\(\displaystyle{ \left( x ^{2} + y ^{2} -4y\right) ^{2} = 16\left( x ^{2} + y ^{2} \right)}\)

Przepraszam, ale... musiałem

a4karo · Post autor: **a4karo** » 29 maja 2017, o 15:42

Piękno to rzecz gustu a nieprawdziwosc tego wzoru od gustu nie zależy.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 29 maja 2017, o 21:08

a4karo pisze:nieprawdziwosc tego wzoru od gustu nie zależy.

No cóż, zakładasz być może na wyrost, że ta równość ma być tożsamością...

JK

Elzbieta87 · Post autor: **Elzbieta87** » 12 cze 2017, o 16:19

A co z doprowadzeniem do sytuacji, że 0 = 1 ? Pamiętam kiedyś mój nauczyciel przez kilkanaście minut próbował nam pokazać, że matematyka też czasami może być "błędna", i udowodnił nam to przekształcając tak długo, aż wyszedł wynik 0 = 1. Ktoś mógłby mi przypomnieć co to było za wyprowadzenie? Dopiero po latach mnie to zainteresowało a nie bardzo wiem jak zapytać o to google

Cytryn · Post autor: **Cytryn** » 12 cze 2017, o 16:44

Niemożliwe w ramach powszechnie uznawanej matematyki. Szukaj pod hasłem sofizmat.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 12 cze 2017, o 16:54

Pewnie w którymś momencie np. podzielił przez coś, co było rozpisanym zerem, a Wy tego nie zauważyliście.

A poza tym lubię wzór Wallisa
i wzór Eulera (ten z \(\displaystyle{ e^{ix}}\)), który mnie uratował na jednym kolokwium z analizy, bo w pewnym zadaniu przepisałem funkcje trygonometryczne ze wzoru Eulera i tak zagmatwałem, że chyba sprawdzający nie zrozumiał, bo dał mi maksa za to zadanko.

Matematyka.pl