Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: a4karo »

MalinaZMelonami pisze:Jednym z ciekawszych jest to równanie:
... 7l5da6.png

PS: Wybaczcie, że nie przepisałem, ale to jest trochę długie.
A możesz napisać co w nim ciekawego?
szw1710

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: szw1710 »

a4karo, a nie przypomina Ci to chorwackich twierdzeń?
Toliman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 24 kwie 2016, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brzeg
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: Toliman »

Skoro odświeżyliście temat, to może ja dorzucę moją ostatnią fascynację:

\(\displaystyle{ e ^{ix} = \cos x - i \sin x}\)

Zauroczyło mnie, że można tak połączyć algebrę z trygonometrią. Później bawiłem się w dowodzenie na podstawie tego wzoru "objawionych" tożsamości trygonometrycznych z liceum, przy okazji poszerzając swoją wiedzę o liczbach zespolonych. Chęć udowodnienia tego twierdzenia skłoniła mnie też do poznania wzór Taylora i Maclaurina (swoją drogą też zasługujące na obecność w tym temacie).

Podstawiając \(\displaystyle{ \pi}\) za \(\displaystyle{ x}\) dostaje się wymieniony w pierwszym poście wzór \(\displaystyle{ e^{i \pi} - 1 = 0}\).
Ostatnio zmieniony 7 sty 2017, o 23:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 704
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 94 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: kinia7 »

Toliman pisze:Skoro odświeżyliście temat, to może ja dorzucę moją ostatnią fascynację:

\(\displaystyle{ e ^{ix} = \cos x - i \sin x}\)
Tylko że to nie jest prawda
Tomuello
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lis 2016, o 20:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 8 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: Tomuello »

Nie czasem - \(\displaystyle{ e^i^ \pi+1=0}\) ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: a4karo »

A cóż to za różnica? Plus, czy minus? Ważne , że wzorek ładny. Prawdziwy być nie musi
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: Kacperdev »

no zaraz... dla zera ładny i prawdziwy
szw1710

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: szw1710 »

Trzeba by potraktować go jak równanie i rozwiązać. Więc tak samo prawdę dostaniemy dla całkowitych wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\). Istotnie, mamy wtedy \(\displaystyle{ \cos x-i\sin x=\cos x+i\sin x}\), co jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ \sin x=0}\), więc \(\displaystyle{ x=k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\).
Tomuello
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lis 2016, o 20:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 8 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: Tomuello »

\(\displaystyle{ a^b ^ ^c}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ c^b ^ ^a}\) \(\displaystyle{ a,b,c\in R}\)
Też wygląda ładnie
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: Jan Kraszewski »

Tyle, że to raczej nie wzór, tylko równanie.

JK
Tomuello
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lis 2016, o 20:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 8 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: Tomuello »

Wzór na potęgę o zpotegowanym wykladniku
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: Jan Kraszewski »

O wzorze moglibyśmy mówić, gdyby ta równość zachodziła dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\). A ponieważ nie zachodzi, więc masz równanie, a nie wzór.

JK
ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: ReallyGrid »

Ja nie mam zdania na temat wzoru "najpiękniejszego" w matematyce bo jakie są wytyczne "piękności" wzoru matematycznego? Natomiast z racji zawodu (programista) mam swoje typy na temat wzoru najbardziej przydatnego. Otóż uważam za najbardziej przydatny wzór Taylora. Komputery nie działają na liczbach rzeczywistych ale na ich przybliżeniach do wielu (ale skończenie wielu) cyfr znaczących.
\(\displaystyle{ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k}\).
Nie jest może krótki, nie jest może prosty (obliczenie piętnastej pochodnej z skomplikowanej funkcji jest często żmudne ale nie trudne)ale…
  1. Działa zarówno dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jak i \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\),
  2. Działa dla funkcji jednej zmiennej i wielu zmiennych,
  3. Wykorzystuje 4 podstawowe działania arytmetyczne, które każdy potrafi szybko wykonać chociażby w słupku: \(\displaystyle{ +}\), \(\displaystyle{ -}\), \(\displaystyle{ \cdot}\), \(\displaystyle{ /}\).
I w zasadzie jest tylko jeden warunek: funkcja musi być różniczkowalna \(\displaystyle{ k+1}\) razy.

Jest to mój typ na najbardziej praktyczny wzór matematyczny. Tam gdzie zawodzą metody symboliczne, wkracza wzór Taylora i robi wielki nokaut tamtym metodom ;)
A w życiu często tak jest, że rzadko jest wymagana dokładna wartość (chyba, że liczy się zadania nie praktyczne ale dla samego liczenia zadań, tak jest np w szkołach). Dlatego ostatnio zafascynowałem się metodami aproksymacyjnymi np. w rozwiązywaniu równań i układów równań różniczkowych.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: leszczu450 »

kruszewski pisze:Wzór na pole sfery.

\(\displaystyle{ A=4 \cdot \pi \cdot R^2}\)

A rysunek przestrzenny i wyobrażanie sobie jak te cztery koła się układają pokrywając sferę jest też fascynujący.
W.Kr.

kruszewski, jest Pan w stanie podlinkować mi taką animację? Bo szukam szukam i nie mogę znaleźć.

Z góry dziękuję : )

Mini OT: Ciekawi mnie, czy są jakieś elementarne dowody na wyprowadzenie tego wzoru.
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1563
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 243 razy

Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

Post autor: Gouranga »

\(\displaystyle{ 1 = \frac{2}{3-1} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-1}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
2 = \frac{2}{3-2} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-2}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
1 = 2}\)


I taki sam wniosek, że \(\displaystyle{ 1=2}\) płynie z paradoksu Banacha-Tarskiego
ODPOWIEDZ