Zbiór liczb wymiernych, a zbiór liczb niewymiernych

[Jakub Gurak]

Trochę jest mi ciężko pogodzić się z tym, że zarówno zbiór liczb wymiernych, jak i zbiór liczb niewymiernych są uporządkowane w sposób gęsty, i pomiędzy dwoma dowolnymi liczbami rzeczywistymi jest liczba wymierna jak i liczba niewymierna, a liczby niewymierne to luki w zbiorze liczb wymiernych, a jednak tych luk jest więcej niż liczb wymiernych Jakim cudem, skąd się biorą te luki

Tylko proszę mi nie odpowiadać, że tak, bo to zostało już udowodnione- chcę to zrozumieć, a nie tylko zaakceptować jak maszyna licząca.

[3a174ad9764fefcb]

Czy zapoznałeś się już z przekrojami Dedekinda? Luka tam nie jest rozumiana w taki sposób, że pomiędzy dwiema liczbami wymiernymi istnieje liczba niewymierna. Istnieje tam też mnóstwo liczb wymiernych, więc ciężko to nazwać luką w zbiorze.

Jeśli popatrzysz na dwa zbiory: \(\{x\in\mathbb{Q}: x^2<2\}\) oraz \(\{x\in\mathbb{Q}: x^2>2\}\), to widzisz, że są to dwa rozłączne przedziały nieograniczone, otwarte. Żadna liczba wymierna nie jest końcem żadnego z tych przedziałów. To jest luka w zbiorze liczb wymiernych.

[a4karo]

Trochę jest mi ciężko pogodzić się z tym, że zarówno zbiór liczb wymiernych, jak i zbiór liczb niewymiernych są uporządkowane w sposób gęsty, i pomiędzy dwoma dowolnymi liczbami rzeczywistymi jest liczba wymierna jak i liczba niewymierna, a liczby niewymierne to luki w zbiorze liczb wymiernych, a jednak tych luk jest więcej niż liczb wymiernych Jakim cudem, skąd się biorą te luki

Tylko proszę mi nie odpowiadać, że tak, bo to zostało już udowodnione- chcę to zrozumieć, a nie tylko zaakceptować jak maszyna licząca.

Dziwne pytanie zadane przez człowieka, który skończył studia matematyczne.

[Jakub Gurak]

Jeśli popatrzysz na dwa zbiory: \(\{x\in\mathbb{Q}: x^2<2\}\) oraz \(\{x\in\mathbb{Q}: x^2>2\}\), to widzisz, że są to dwa rozłączne przedziały nieograniczone, otwarte. Żadna liczba wymierna nie jest końcem żadnego z tych przedziałów. To jest luka w zbiorze liczb wymiernych.

No dobrze, ale dlaczego tych luk jest więcej niż elementów zbioru (zbioru liczb wymiernych)- i nie chodzi o dowód, tylko o to, że chcę to jakoś przełknąć, przecież obydwa te dwa zbiory- (zbiór liczb wymiernych i niewymiernych) są uporządkowane w sposób gęsty, więc skąd ta różnica, że zbiór liczb niewymiernych jest liczniejszy

Swoją drogą, twierdzenie, że odcinek domknięty \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) jest nieprzeliczalny jest dla mnie zupełnie nieintuicyjne (które akceptuje dopiero po przestudiowaniu dowodu, inaczej bym nie uwierzył).

[3a174ad9764fefcb]

Swoją drogą, twierdzenie, że odcinek domknięty \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) jest nieprzeliczalny jest dla mnie zupełnie nieintuicyjne (które akceptuje dopiero po przestudiowaniu dowodu, inaczej bym nie uwierzył).

Nic dziwnego. Nieskończoność, to coś co wymyka się ludzkiej intuicji.

Jeśli koniecznie chcesz argumentu na intuicję, to spróbuj wskazać bijekcję między zbiorem liczb rzeczywistych a zbiorem liczb naturalnych. Jeśli nie uda Ci się tego zrobić, to może intuicja Ci powie, że nie da się tego zrobić. Albo spróbuj wskazać funkcję wyboru dla \(P(\mathbb{R})\).

[Jan Kraszewski]

No dobrze, ale dlaczego tych luk jest więcej niż elementów zbioru (zbioru liczb wymiernych)- i nie chodzi o dowód, tylko o to, że chcę to jakoś przełknąć, przecież obydwa te dwa zbiory- (zbiór liczb wymiernych i niewymiernych) są uporządkowane w sposób gęsty, więc skąd ta różnica, że zbiór liczb niewymiernych jest liczniejszy

Ale jakiej odpowiedzi się spodziewasz? To są dwa różne zbiory, które akurat mają wskazaną przez Ciebie wspólną własność. Tylko co z tego? Równie dobrze możesz się dziwić, dlaczego wszystkie liczby porządkowe graniczne nie są równoliczne - przecież wszystkie są graniczne...

A jak myślisz, że wszystkie niezrozumiałe dla Ciebie fakty jesteś w stanie zrozumieć "intuicyjnie", to jesteś wg mnie skazany na porażkę.

JK

[Kaczmarek_1]

Liczb wymiernych jest tyle co naturalnych, bo są ilorazami par liczb naturalnych obłożonymi znakiem. Łatwo więc wskazać bijekcję. Liczb niewymiernych jest istotnie więcej, bo reprezentują je rozwinięcia pozycyjne nieskończone. Intuicja może potwierdzić, że słów nieskończenie długich nad alfabetem skończonym może być istotnie więcej niż słów skończonej długości. Zauważ, że na tym właśnie opiera się dowód metodą przekątniową. Co do oglądu "luk", dobrze wyjaśnili to koledzy przede mną.

[Jan Kraszewski]

Liczb niewymiernych jest istotnie więcej, bo reprezentują je rozwinięcia pozycyjne nieskończone.

Nie wszystkie rozwinięcia pozycyjne nieskończone reprezentują liczby niewymierne - tylko te nieokresowe.

JK

[Jakub Gurak]

Dalej nie daje mi spokoju fakt, że liczb niewymiernych jest istotnie więcej niż liczb wymiernych, bo przecież pomiędzy dwoma liczbami rzeczywistymi jest liczba wymierna, jak i jest liczba niewymierna, a jednak liczb niewymiernych jest istotnie więcej niż liczb wymiernych. Jakim cudem

(Tylko nie proszę o dowód tego faktu, bo dowód znam, lecz proszę o intuicyjne wytłumaczenie tej zadzwiającej zależności, bo chcę to zrozumieć, a nie tylko zaakceptować to jak maszyna licząca).

[a4karo]

Bo liczby niewymierne są mniejsze niż wymierne i dlatego ich więcej wchodzi na metr.

[Jan Kraszewski]

Nie ma w tym nic cudownego - to bardzo typowe, że pewne zbiory są podobne pod jednymi względami i zupełnie inne pod innymi względami. Dlaczego podobieństwo pewnych porządkowych własności zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych miałoby mieć związek z ich własnościami mocowymi? To są zupełnie inne rzeczywistości.

Czy dziwi Cię, że liczb wymiernych jest tyle samo, co naturalnych? A przecież liczby wymierne na prostej są "wszędzie", a naturalne tylko od czasu do czasu i to z dużymi przerwami... To jest analogiczna sytuacja (tylko à rebours) - zbiory liczb wymiernych i naturalnych mają te same własności mocowe i zupełnie inne porządkowe.

JK