Nieskończone zbiory.

[lemonhaze]

Szanowni forumowicze,
Od kilku dni nurtuje mnie pewna kwestia związana z rachunkiem prawdopodobieństwa, mianowicie według wszelkich rozwiązań, jakie udało mi się znaleźć, wylosowanie konkretnej liczby z podzbioru liczby rzeczywistych wynosi \(\displaystyle{ 0}\), np. prawdopodobieństwo wylosowania \(\displaystyle{ 1}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle }\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Według definicji, gdy prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0}\) mamy do czynienia ze zdarzeniem losowym niemożliwym, czyli takim, które nie może zaistnieć i tu rodzi się moje pytanie. Czy w takim razie, aby na pewno niemożliwe jest wylosowanie takiej liczby? Przecież, gdybyśmy losowali w nieskończoność liczby z tego zbioru, to "kiedyś" na pewno wylosowalibyśmy wspomnianą \(\displaystyle{ 1}\), a nawet jeśli wylosowanie \(\displaystyle{ 1}\) w nieskończonej próbie losowań nie jest pewne, to czy prawdopodobieństwo nie powinno zakładać chodziarz możliwości wystąpienia takiego zdarzenia i wtedy \(\displaystyle{ 0}\) okazałoby się zbyt dużym przybliżeniem? Czy nie zachodzi tu sprzeczność, skoro wylosowane by było zdarzenie niemożliwe do zaistnienia?
Z góry dziękuję za odpowiedź.

[matmatmm]

Typowy paradoks. Prawdopodobieństwo trafienia strzałą w tarczę wynosi jeden, jednak prawdopodobieństwo trafienia w jeden wybrany punkt wynosi zero. A przecież prawdopodobieństwa powinny się "sumować". Skąd wynika ta pozorna sprzeczność? Otóż prawdopodobieństwo jest funkcją tylko przeliczalnie addytywną, a punktów na tarczy jest całe continuum.

Przecież, gdybyśmy losowali w nieskończoność liczby z tego zbioru, to "kiedyś" na pewno wylosowalibyśmy wspomnianą \(\displaystyle{ 1}\), a nawet jeśli wylosowanie \(\displaystyle{ 1}\) w nieskończonej próbie losowań nie jest pewne, to czy prawdopodobieństwo nie powinno zakładać chodziarz możliwości wystąpienia takiego zdarzenia i wtedy \(\displaystyle{ 0}\) okazałoby się zbyt dużym przybliżeniem?

Cóż miało by znaczyć losowanie w nieskończoność? Zadam wręcz pytanie, co miałoby znaczyć wylosowanie jednej liczby z tego przedziału? Formalnie nie ma takiej funkcji nawet dla zwykłego rzutu kostką, która zwracałaby losowo liczbę od 1 do 6. Da się jedynie opisać prawdopodobieństwa wylosowania tych liczb.

Czy nie zachodzi tu sprzeczność, skoro wylosowane by było zdarzenie niemożliwe do zaistnienia?

Tak samo jak dla rzutu kostką, da się opisać prawdopodobieństwa wylosowania liczby z danego zbioru, ale nie da się faktycznie wylosować tej liczby (przynajmniej w matematyce).

[a4karo]

Jest istotna różnica między zdarzeniem niemożliwym a zdarzeniem o zerowym prawdopodobieństwie. Jeżeli w worku masz przeliczalnie wiele kul czerwonych i jedną zieloną, to zdarzenie polegające ma wylosowaniu kuli zielonej ma prawdopodobieństwo zero, ale może się jednak zdarzyć. Natomiast zdarzeniem niemożliwym będzie np. wylosowanie kuli czarnej.

[lemonhaze]

Mój błąd, definicja dotyczyła zdarzeń elementarnych, dziękuję za podpowiedź. Mam jeszcze jedno pytanie, czy poprawnym jest stwierdzenie, że według rachunku prawdopodobieństwa istnieje nieskończenie wiele liczb, należących do zbioru - nazwijmy go \(\displaystyle{ A}\), który jest podzbiorem liczb rzeczywistych - nazwijmy go \(\displaystyle{ B}\), i prawdopodobieństwo wylosowania liczby ze zbioru \(\displaystyle{ B}\), należącej do zbioru \(\displaystyle{ A}\), wynosi dokładnie tyle samo, co wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \RR \setminus B}\), losując ze zbioru \(\displaystyle{ B}\) dowolną liczbę? Inaczej mówiąc czy według rachunku prawdopodobieństwa istnieją takie zdarzenia, w których prawdopodobieństwo wylosowania 1 z nieskończoności możliwych zdarzeń wynosi tyle samo, co prawdopodobieństwo wylosowania 1 niemożliwego zdarzenia?
Przykład:
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby należącej do części wspólnej zbiorów liczb wymiernych i \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle}\) , jeśli losujemy dowolną liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle}\) i czy wynosi tyle samo co wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\langle 0;2\right\rangle}\), jeśli losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle}\).

[matmatmm]

Jest istotna różnica między zdarzeniem niemożliwym a zdarzeniem o zerowym prawdopodobieństwie.

Jak definiujesz zdarzenie niemożliwe? Zbiór pusty?

Jeżeli w worku masz przeliczalnie wiele kul czerwonych i jedną zieloną, to zdarzenie polegające ma wylosowaniu kuli zielonej ma prawdopodobieństwo zero, ale może się jednak zdarzyć.

A to prawdopodobieństwo nie zależy od rozkładu? Na zbiorze przeliczalnym nie ma naturalnego rozkładu.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby należącej do części wspólnej zbiorów liczb wymiernych i <0;2>, jeśli losujemy dowolną liczbę ze zbioru <0;2> i czy wynosi tyle samo co wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru R\<0;2>, jeśli losujemy ze zbioru <0;2>.

W ogólności to będzie zależeć od rozkładu prawdopodobieństwa. Na zbiorze \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\) mamy naturalny (jednostajny) rozkład prawdopodobieństwa (prawdopodobieństwo geometryczne). Jednak nie da się zadać rozkładu prawdopodobieństwa na całym zbiorze \(\displaystyle{ \RR}\) w analogiczny sposób (bo miara \(\displaystyle{ \RR}\) jest nieskończona). W związku z tym powinieneś sprecyzować według jakiego rozkładu na całym \(\displaystyle{ \RR}\) losujesz.

Mam jeszcze jedno pytanie, czy poprawnym jest stwierdzenie, że według rachunku prawdopodobieństwa istnieje nieskończenie wiele liczb, należących do zbioru - nazwijmy go A, który jest podzbiorem liczb rzeczywistych - nazwijmy go B, i prawdopodobieństwo wylosowania liczby ze zbioru B, należącej do zbioru A, wynosi dokładnie tyle samo, co wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru R\B, losując ze zbioru B dowolną liczbę? Inaczej mówiąc czy według rachunku prawdopodobieństwa istnieją takie zdarzenia, w których prawdopodobieństwo wylosowania 1 z nieskończoności możliwych zdarzeń wynosi tyle samo, co prawdopodobieństwo wylosowania 1 niemożliwego zdarzenia?

Nie odniosę się, bo tego nie rozumiem.

[lemonhaze]

W związku z tym powinieneś sprecyzować według jakiego rozkładu na całym \(\displaystyle{ \RR}\) losujesz.

To przekracza moje kompetencje, dlatego zaproponuję inne zadanie i mam nadzieję, że to będzie dało się obliczyć.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby należącej do części wspólnej zbiorów liczb wymiernych i \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle}\), jeśli losujemy dowolną liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle}\) i czy wynosi tyle samo co wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 10;15\right\rangle}\), jeśli losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 0;2\right\rangle}\)?

[matmatmm]

Jeśli losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\) według rozkładu jednostajnego, to prawdopodobieństwo wylosowania liczby wymiernej z tego przedziału wynosi zero. Natomiast mówienie o prawdopodobieństwie wylosowania liczby z przedziału \(\displaystyle{ \langle 10;15\rangle}\) w tym przypadku nie ma w ogóle sensu, bo każdy zbiór, który ma jakiekolwiek prawdopodobieństwo musi być podzbiorem \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\).

Dodano po 1 minucie 46 sekundach:
Chyba, że ten sam rozkład jednostajny (skupiony na \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\) ) rozpatrujemy na całym \(\displaystyle{ \RR}\), a wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ \langle 10; 15\rangle}\) wynosi zero, czyli tyle samo, co zdarzenia \(\displaystyle{ \QQ\cap \langle 0; 2\rangle}\).

[lemonhaze]

Natomiast mówienie o prawdopodobieństwie wylosowania liczby z przedziału \(\displaystyle{ \langle 10;15\rangle}\) w tym przypadku nie ma w ogóle sensu, bo każdy zbiór, który ma jakiekolwiek prawdopodobieństwo musi być podzbiorem \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\).

A zbiór pusty nie jest podzbiorem \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\)?
Czy w takim razie posługując się rachunkiem prawdopodobieństwa nie da się obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \langle 10;15\rangle}\), jeśli losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\)?

[matmatmm]

Zbiór pusty jest podzbiorem \(\displaystyle{ \langle 0; 2 \rangle}\), ale \(\displaystyle{ \langle 10; 15 \rangle}\) nie jest.

Czy w takim razie posługując się rachunkiem prawdopodobieństwa nie da się obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \langle 10;15\rangle}\), jeśli losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\)?

W zasadzie się da, patrz mój komentarz

Chyba, że ten sam rozkład jednostajny (skupiony na \(\displaystyle{ \langle 0; 2\rangle}\) ) rozpatrujemy na całym \(\displaystyle{ \RR}\), a wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ \langle 10; 15\rangle}\) wynosi zero, czyli tyle samo, co zdarzenia \(\displaystyle{ \QQ\cap \langle 0; 2\rangle}\).

Pośpieszyłem się z napisaniem, że to prawdopodobieństwo nie ma sensu, aczkolwiek może tak być, gdy wybierzemy za przestrzeń zdarzeń elementarnych zbiór \(\displaystyle{ \langle 0; 2 \rangle}\).

Podkreślam, że wszystko tutaj jest dla rozkładu jednostajnego.

[a4karo]

Zbiór pusty jest podzbiorem \(\displaystyle{ \langle 0; 2 \rangle}\), ale \(\displaystyle{ \langle 10; 15 \rangle}\) nie jest.

Ale zbiór \(\displaystyle{ \{x\in[10,15] : x\in [0,2]\} }\) jest