Abstrakcyjne pojęcia
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Abstrakcyjne pojęcia
Student matematyki (i innych ścisłych kierunków) musi mierzyć się z zupełnie abstrakcyjnymi pojęciami (choćby sigma-ciało zbiorów borelowskich). Mam pytanie do ludzi, którzy już przez to przebrnęli (przynajmniej częściowo). W jaki sposób sobie z tym radzicie? Jak się oswoić z takim pojęciem? Skąd student ma wiedzieć, że dobrze coś rozumie? Macie jakieś własne obserwacje/porady?
PS. Sigma-ciało zbiorów borelowskich nie jest dla mnie (już) niczym obcym. To był tylko przykład. Chodzi mi o ogólne zjawisko mierzenia się z abstrakcją.
PS. Sigma-ciało zbiorów borelowskich nie jest dla mnie (już) niczym obcym. To był tylko przykład. Chodzi mi o ogólne zjawisko mierzenia się z abstrakcją.
Ostatnio zmieniony 9 lis 2021, o 21:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Abstrakcyjne pojęcia
Trzeba analizować- tzn. zadawać sobie pytania pomocne w logicznym zrozumieniu danego pojęcia. Podam przykład:
Zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ X}\) nazywamy zbiorem dobrze uporządkowanym, gdy każdy niepusty podzbiór zbioru \(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy.
Dowodzi się, że zbiór dobrze uporządkowany jest liniowo uporządkowany, i każdy element (z wyjątkiem największego) ma następnik. Jasne, że również cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), o ile jest niepusty, ma element najmniejszy. I następnie należy to sobie wyobrazić, takie kolejne następniki, (uświadomić sobie, że w teorii mnogości mogą być dłuższe zbiory niż zbiór liczb naturalnych), i zadać sobie pytanie, czy te warunki na zbiór liniowo uporządkowany nie wystarczą aby był to zbiór dobrze uporządkowany. Okazuje się, że nie, bo można wziąć kopię zbioru liczb naturalnych, tzn. \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\},}\) i kopię zbioru liczb całkowitych, tzn. \(\displaystyle{ \ZZ \times \left\{ 1\right\}}\) , i ich sumę porządkową, wtedy jest to zbiór liniowo uporządkowany, para \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest elementem najmniejszym, każdy element ma następnik, gdyż każda liczba naturalna ma następnik, i każda liczba całkowita ma następnik. Zbiór ten nie jest dobrze uporządkowany, gdyż w \(\displaystyle{ \ZZ \times \left\{ 1\right\}}\), podobnie jak w \(\displaystyle{ \ZZ,}\) nie ma elementu najmniejszego, a więc cały zbiór- nie jest to zbiór dobrze uporządkowany.
Jednak mamy fakt, że zbiór liczb naturalnych z dodanym jednym elementem \(\displaystyle{ T,}\) jako największym, jest dobrze uporządkowany. Można rozważać zbiory tego typu, oznaczmy ten typ jako \(\displaystyle{ \omega +1}\), można do zbioru tego typu dodać jeszcze jeden ostatni element, oznaczmy typ tego zbioru jako \(\displaystyle{ \omega +2}\), można rozważać zbiory typów \(\displaystyle{ \omega +3,\omega +4, \ldots.}\) Można rozważać sumę porządkową zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\}}\) I zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 1\right\},}\) oznaczmy ten typ jako \(\displaystyle{ 2\omega}\) , wszystkie takie zbiory są dobrze uporządkowane. Można analogicznie rozwaźać zbiory typu \(\displaystyle{ 2\omega +1, 2\omega+2, \ldots.}\) Można podejrzewać , że zbiór dobrze uporządkowany \(\displaystyle{ X}\), to taki zbìór liniowo uporządkowany, gdzie ustawiamy element najmniejszy, jego następnik, kolejny następnik, tak długo(być może o wiele dłuższa to konstrukcja niż przeliczalnie wiele kroków) aż wymienimy wszystkie elementy . Aby się o tym przekonać przypuśćmy, że mamy dowolnie wielki przedział początkowy \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\). Jeśli \(\displaystyle{ A=X}\), to wymieniliśmy wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\). Jeśli \(\displaystyle{ A \neq X}\), to \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), jego elementy muszą być większe od wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), bo \(\displaystyle{ A}\) był zbiorem początkowych elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\), zatem takie elementy muszą być większe, ale ponieważ \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest dobrze uporządkowany, zatem ten zbior ma element najmniejszy. Pokazaliśmy zatem, że jeśli tylko nie wymieniliśmy wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\), to jeden element możemy dostawić. Stąd chyba musimy wymienić wszystkie element zbioru \(\displaystyle{ X}\), do czego zresztą nawiązuje zadziwiające twierdzenie Zermelo, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować.
Rozgadałem się, przepraszam. Po prostu zadajesz sobie logiczne pytania, które pomogą Ci zrozumieć dane pojęcie. Oto, tym razem dużo prostszy, przykład:
Np. masz pojęcie rozkładu niepustego zbioru \(\displaystyle{ X}\)- pokrojenie zbioru na kawałki. No I analizujesz, czy te intuicyjne 'pokrojenie' zbioru odpowiada ścisłej definicji rozkładu. Masz warunek, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne, można zastanowić się, czy to nie wystarczy aby było to pokrojeniem zbioru, no I okazuje się, że jakby zbiory tego rozkładu sumowały się do dużo mniejszej części całego zbioru \(\displaystyle{ X}\), to nie byłoby dobrze. Ale w definicji rozkładu mamy jeszcze warunek, że suma rozkładu daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), i już chyba wszystko się zgadza.
No i trzeba szukać wyjaśnienia zagadnienia w różnych źródłach, i zastanawiać się nad tym, zastanawiać się nad twierdzeniami, ćwiczyć zadania, itd.
A jeśli chodzi o znaczki, to warto ciągle pamiętać, że w matematyce ten sam symbol, użyty w różnych miejscach ma zawsze to samo znaczenie, i te powtarzające się symbole wyrażają związki między pojęciami.
Zbiór pusty nie ma żadnych elementów, więc w szczególności \(\displaystyle{ \emptyset\not\in \emptyset.}\) Jest to przykład zbioru \(\displaystyle{ X}\), takiego, że \(\displaystyle{ X\notin X.}\)
Zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ X}\) nazywamy zbiorem dobrze uporządkowanym, gdy każdy niepusty podzbiór zbioru \(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy.
Dowodzi się, że zbiór dobrze uporządkowany jest liniowo uporządkowany, i każdy element (z wyjątkiem największego) ma następnik. Jasne, że również cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), o ile jest niepusty, ma element najmniejszy. I następnie należy to sobie wyobrazić, takie kolejne następniki, (uświadomić sobie, że w teorii mnogości mogą być dłuższe zbiory niż zbiór liczb naturalnych), i zadać sobie pytanie, czy te warunki na zbiór liniowo uporządkowany nie wystarczą aby był to zbiór dobrze uporządkowany. Okazuje się, że nie, bo można wziąć kopię zbioru liczb naturalnych, tzn. \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\},}\) i kopię zbioru liczb całkowitych, tzn. \(\displaystyle{ \ZZ \times \left\{ 1\right\}}\) , i ich sumę porządkową, wtedy jest to zbiór liniowo uporządkowany, para \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest elementem najmniejszym, każdy element ma następnik, gdyż każda liczba naturalna ma następnik, i każda liczba całkowita ma następnik. Zbiór ten nie jest dobrze uporządkowany, gdyż w \(\displaystyle{ \ZZ \times \left\{ 1\right\}}\), podobnie jak w \(\displaystyle{ \ZZ,}\) nie ma elementu najmniejszego, a więc cały zbiór- nie jest to zbiór dobrze uporządkowany.
Jednak mamy fakt, że zbiór liczb naturalnych z dodanym jednym elementem \(\displaystyle{ T,}\) jako największym, jest dobrze uporządkowany. Można rozważać zbiory tego typu, oznaczmy ten typ jako \(\displaystyle{ \omega +1}\), można do zbioru tego typu dodać jeszcze jeden ostatni element, oznaczmy typ tego zbioru jako \(\displaystyle{ \omega +2}\), można rozważać zbiory typów \(\displaystyle{ \omega +3,\omega +4, \ldots.}\) Można rozważać sumę porządkową zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\}}\) I zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 1\right\},}\) oznaczmy ten typ jako \(\displaystyle{ 2\omega}\) , wszystkie takie zbiory są dobrze uporządkowane. Można analogicznie rozwaźać zbiory typu \(\displaystyle{ 2\omega +1, 2\omega+2, \ldots.}\) Można podejrzewać , że zbiór dobrze uporządkowany \(\displaystyle{ X}\), to taki zbìór liniowo uporządkowany, gdzie ustawiamy element najmniejszy, jego następnik, kolejny następnik, tak długo(być może o wiele dłuższa to konstrukcja niż przeliczalnie wiele kroków) aż wymienimy wszystkie elementy . Aby się o tym przekonać przypuśćmy, że mamy dowolnie wielki przedział początkowy \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\). Jeśli \(\displaystyle{ A=X}\), to wymieniliśmy wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\). Jeśli \(\displaystyle{ A \neq X}\), to \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), jego elementy muszą być większe od wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), bo \(\displaystyle{ A}\) był zbiorem początkowych elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\), zatem takie elementy muszą być większe, ale ponieważ \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest dobrze uporządkowany, zatem ten zbior ma element najmniejszy. Pokazaliśmy zatem, że jeśli tylko nie wymieniliśmy wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\), to jeden element możemy dostawić. Stąd chyba musimy wymienić wszystkie element zbioru \(\displaystyle{ X}\), do czego zresztą nawiązuje zadziwiające twierdzenie Zermelo, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować.
Rozgadałem się, przepraszam. Po prostu zadajesz sobie logiczne pytania, które pomogą Ci zrozumieć dane pojęcie. Oto, tym razem dużo prostszy, przykład:
Np. masz pojęcie rozkładu niepustego zbioru \(\displaystyle{ X}\)- pokrojenie zbioru na kawałki. No I analizujesz, czy te intuicyjne 'pokrojenie' zbioru odpowiada ścisłej definicji rozkładu. Masz warunek, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne, można zastanowić się, czy to nie wystarczy aby było to pokrojeniem zbioru, no I okazuje się, że jakby zbiory tego rozkładu sumowały się do dużo mniejszej części całego zbioru \(\displaystyle{ X}\), to nie byłoby dobrze. Ale w definicji rozkładu mamy jeszcze warunek, że suma rozkładu daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), i już chyba wszystko się zgadza.
No i trzeba szukać wyjaśnienia zagadnienia w różnych źródłach, i zastanawiać się nad tym, zastanawiać się nad twierdzeniami, ćwiczyć zadania, itd.
A jeśli chodzi o znaczki, to warto ciągle pamiętać, że w matematyce ten sam symbol, użyty w różnych miejscach ma zawsze to samo znaczenie, i te powtarzające się symbole wyrażają związki między pojęciami.
Zbiór pusty nie ma żadnych elementów, więc w szczególności \(\displaystyle{ \emptyset\not\in \emptyset.}\) Jest to przykład zbioru \(\displaystyle{ X}\), takiego, że \(\displaystyle{ X\notin X.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Abstrakcyjne pojęcia
No tutaj to jednak przesadziłeś z tym kwantyfikatorem ogólnym...Jakub Gurak pisze: ↑10 lis 2021, o 22:39A jeśli chodzi o znaczki, to warto ciągle pamiętać, że w matematyce ten sam symbol, użyty w różnych miejscach ma zawsze to samo znaczenie,
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Abstrakcyjne pojęcia
Tak, chyba przesadziłłem. Chodziło mi o użycie tego samego symbolu w jednym wzorze, wtedy ten sam symbol oznacza to samo, ale i tu są odstępstwa od tego. A te odstępstwa wynikają chyba stąd, że różne obiekty (np. zero jako liczba naturalna i zero jako liczba całkowita) formalnie powinno się oznaczyć różnymi symbolami (bo znowu ten sam symbol by oznaczał to samo, a formalnie to są inne zera, inne zbiory), ale wiadomo- nie chcemy mnożyć oznaczeń...
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Abstrakcyjne pojęcia
Jakub Gurak pisze: ↑10 lis 2021, o 23:56A te odstępstwa wynikają chyba stąd, że różne obiekty (np. zero jako liczba naturalna i zero jako liczba całkowita) formalnie powinno się oznaczyć różnymi symbolami (bo znowu ten sam symbol by oznaczał to samo, a formalnie to są inne zera, inne zbiory)
Taki poziom abstrakcji to nawet mnie przerasta - jakoś nigdy nie odróżniałem zera jako liczby całkowitej od zera jako liczby naturalnej...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Abstrakcyjne pojęcia
No zero w konstrukcji von Neumanna liczb naturalnych, to zbiór pusty.
A zero w konstrukcji zbioru liczb całkowitych z liczb naturalnych, to zbiór \(\displaystyle{ \textbf{0}=\left\{ \left( n,n\right)\Bigl| \ \ n \in \NN\right\} ,}\)- zbiór nieskończony.
Dodano po 7 minutach 8 sekundach:
A zero w konstrukcji zbioru liczb całkowitych z liczb naturalnych, to zbiór \(\displaystyle{ \textbf{0}=\left\{ \left( n,n\right)\Bigl| \ \ n \in \NN\right\} ,}\)- zbiór nieskończony.
Dodano po 7 minutach 8 sekundach:
Autorzy ważniaka zwrócili uwagę, że jest to zupełnie inny zbiór.Jan Kraszewski pisze: ↑10 lis 2021, o 23:58 - jakoś nigdy nie odróżniałem zera jako liczby całkowitej od zera jako liczby naturalnej...
JK
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Abstrakcyjne pojęcia
To są tylko konstrukcje. Gdy używam liczby naturalnej zero, to nie jest to zbiór pusty, a gdy używam liczby całkowitej zero, to nie jest to zbiór nieskończony. To jest liczba, w dodatku ta sama.Jakub Gurak pisze: ↑11 lis 2021, o 00:25 No zero w konstrukcji von Neumanna liczb naturalnych, to zbiór pusty.
A zero w konstrukcji zbioru liczb całkowitych z liczb naturalnych, to zbiór \(\displaystyle{ \textbf{0}=\left\{ \left( n,n\right)\Bigl| \ \ n \in \NN\right\} ,}\)- zbiór nieskończony.
Za bardzo przywiązujesz się do faktu, że w teorii mnogości można skonstruować całą matematykę używając wyłącznie zbiorów.
W przeciwieństwie do Ciebie, dla mnie ważniak nie jest punktem odniesienia.Jakub Gurak pisze: ↑11 lis 2021, o 00:25 Autorzy ważniaka zwrócili uwagę, że jest to zupełnie inny zbiór.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Abstrakcyjne pojęcia
W podstawówce powiedziano nam ta: "Biernik to przypadek, który odpowiada na pytanie kogo? co?". To jest dopiero abstrakcja. Co to jest przypadek? kto go o coś pyta? I jak on odpowiada? A jednak używamy biernika poprawnie, bo mieliśmy dużą bazę rzeczowników, na których mogliśmy sprawdzić jak on działa. Podobnie jest z innymi abstrakcjami.
Z abstrakcjami dużo łatwiej się oswoić, gdy dysponujesz kolekcją obiektów, na których możesz sprawdzić pewne własności. Ale te kolekcje musisz sobie sam zbudować - to jest doświadczenie.
Czy dobrze rozumiesz pojęcie? przymierz je do tego, co już wiesz, sprawdź czy pasuje. Jeżeli kolejne fakty (twierdzenia) potwierdzają twoje doświadczenia, to znaczy, że rozumiesz.
Z abstrakcjami dużo łatwiej się oswoić, gdy dysponujesz kolekcją obiektów, na których możesz sprawdzić pewne własności. Ale te kolekcje musisz sobie sam zbudować - to jest doświadczenie.
Czy dobrze rozumiesz pojęcie? przymierz je do tego, co już wiesz, sprawdź czy pasuje. Jeżeli kolejne fakty (twierdzenia) potwierdzają twoje doświadczenia, to znaczy, że rozumiesz.