Twierdzenie
Zbiór liczb pierwszych jest nieskończony
Istnieje dużo dowodów tego twierdzenia (nie tylko elementarnych), które można uznać za jedno z najistotniejszych w teorii liczb.
Dowód może być np. taki:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym skończonym zbiorem liczb pierwszych. Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest iloczynem tych liczb, to skoro \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x+1}\) są względnie pierwsze, tj. dowolna liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), która dzieli \(\displaystyle{ x+1}\) jest taka, że \(\displaystyle{ p \notin X}\). A zatem \(\displaystyle{ X \neq P}\)
(Określenie \(\displaystyle{ x}\) ma sens, gdyż zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest skończony, a mamy także \(\displaystyle{ x+1 \neq 1}\)).
W książce Aignera Dowody z księgi przedstawiono sześć takich dowodów. Trzy pierwsze są elementarne i używają liczb Fermata i Mersenne'a; czwarty stosuje analizę (szacowanie logarytmu); zaś piąty topologię. Ostatni dowód jest wymyślony przez Paula Erdősa.
■ (elementarne) : Thue'go: Istnieje co najmniej \(\displaystyle{ k+1}\) różnych liczb pierwszych mniejszych od \(\displaystyle{ 4^{k^2}}\)
np. wyjątkowo wspaniały jest dowód Stieltjesa:
Niech \(\displaystyle{ p_1, ..., p_k}\) będą wszystkimi liczbami pierwszymi jakie istnieją i niech \(\displaystyle{ N=p_1 ... p_k}\) oraz \(\displaystyle{ N=mn}\). Wtedy każda z liczb \(\displaystyle{ p_j}\) dzieli tylko jedną z liczb \(\displaystyle{ m, n}\) a zatem \(\displaystyle{ m+n}\) nie dzieli się przez żadną z liczb \(\displaystyle{ p_j}\) co jest sprzeczne bo \(\displaystyle{ m+n >1}\)
■ (analiza) Dowód Eulera jest jednym, z tych który używa szeregów. Znów jeśli założyć, że jest \(\displaystyle{ k}\) wszystkich liczb pierwszych tj. \(\displaystyle{ p_1, ..., p_k}\) to wtedy można rozważyć iloczyn \(\displaystyle{ k}\) zbieżnych szeregów geometrycznych \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{p_j} + \frac{1}{p_j^2} + \frac{1}{p_j^3}+ ...}\) które po wymnożeniu nawiasów są szeregiem harmonicznym (rozbieżnym).
■ (inne) np. Washingtona - teoria pierścieni lub dowód Fursterberga: Niech w zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ Z}\) określone są podzbiory \(\displaystyle{ N_{a,b} = \{ a+nb \ : n \in Z \}}\) gdzie \(\displaystyle{ b>0}\) (baza topologii). Zbiory otwarte to \(\displaystyle{ \emptyset}\) i takie \(\displaystyle{ O}\) , że jeśli \(\displaystyle{ a \in O}\) to istnieje \(\displaystyle{ b>0}\) takie, że \(\displaystyle{ N_{a,b} \subset O}\). Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ Z \backslash \{ -1, 1 \}= \bigcup_{p \in P} N_{0,p}}\) gdyby zbiór \(\displaystyle{ P}\) był skończony to zbiór \(\displaystyle{ \{-1, 1 \}}\) byłby otwarty tj. sprzeczność.
Być może ktoś zna także i inne dowody i/lub informacje związane z samym tematem (np. rozmieszczeniem liczb pierwszych itd.)...