Często, mimo pozorów sensowności i prawdziwości teksty są z gruntu fałszywe, jak np. „szesnastościan foremny”, lub uznawane za prawdziwe w jednej epoce, a w innym czasie za fałszywe jak: „ciała palne zawierają floginston uwalniany z nich przy spalaniu”. Ocena niektórych tekstów zawsze będzie subiektywna, a w matematyce wolelibyśmy posługiwać się tylko takimi, którym potrafimy nadać wartość logiczną. Ale do opisu wielu pojęć matematycznych często stosowany jest metajęzyk, dla którego prawdziwości, jak widzimy na przykładzie: „to zdanie jest fałszywe” nie jesteśmy w stanie określić. Automatyczny i bezdyskusyjny wybór wszystkich tekstów o żądanych cechach, w związku z powyższymi uwagami, staje się także trudny do zrealizowania. A zwłaszcza dla tekstów definiujących wszystkie podzbiory liczb naturalnych czy też liczby rzeczywiste, co według Cantora, jest w ogóle niemożliwe ze względu na większą moc. Jego dowód i metoda przekątniowa powinna jednak działać dla każdego ciągu odpowiedniego typu i zawsze generować nowe elementy niezawarte w badanym ciągu.
Skonstruujmy ciąg \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ f:\NN\ni r\to T _{r} ≝p _{r}∈P(\NN)}\),gdzie \(\displaystyle{ T _{r}}\)-tekst definiujący \(\displaystyle{ p _{r}}\)–podzbiór \(\displaystyle{ \NN}\)
w następujący sposób:
Ciąg wszystkich tekstów powstały nad dostatecznie bogatym alfabetem zawierający na początku sześć arbitralnie wybranych tekstów\(\displaystyle{ ASAB}\) zostaje poddany weryfikacji przez \(\displaystyle{ VP}\) i jeśli pomyślnie ją przejdzie zostaje umieszczony w ciągu\(\displaystyle{ f}\) .
Procedura weryfikacyjna \(\displaystyle{ VP}\) polega na sprawdzeniu, czy tekst mający definiować zbiór pozwala określić dowolną ilość elementów tego podzbioru oraz jego funkcji charakterystycznej \(\displaystyle{ _{1} }\).
Wybrane teksty inicjacyjne \(\displaystyle{ ASAB:}\)
\(\displaystyle{ T1:= \emptyset}\)
\(\displaystyle{ T2:=\NN\setminus\{6,7,8\}}\)
\(\displaystyle{ T3:=\{x\in\NN:x\in f(2)\}}\)
\(\displaystyle{ T4:=\{x∈\NN:x∈f(x)\}}\)
\(\displaystyle{ T5:=\{x∈\NN:x\notin f(x)\}}\)
\(\displaystyle{ T6:=}\)Zbiór liczb naturalnych, dla którego funkcja charakterystyczna jest identyczna z binarnym zapisem pierwiastka z dwóch z pominięciem przecinka.
-----------------------------------koniec konstrukcji ciągu\(\displaystyle{ f}\)--------
Przeanalizujmy zatem, które teksty zostaną wybrane do ciągu \(\displaystyle{ f}\), jako teksty definiujące podzbiory liczb naturalnych:
Ad1. \(\displaystyle{ Φ ≝Zbiór\ pusty. VP(Φ)=\{\} }\), \(\displaystyle{ _{1} =00(0)... Φ≝\{\}∈P(\NN) ⇒ }\)
\(\displaystyle{ f(1)=Φ.}\)
Ad2. Różnica zbiorów \(\displaystyle{ \NN\setminus \{6,7,8\}}\). \(\displaystyle{ _{1}=1111100011(1)...}\)
\(\displaystyle{ VP(T2)=VP(\NN\setminus \{6,7,8\})=\{1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,...\}∈P(\NN)⇒}\)
\(\displaystyle{ f(2)=\NN\setminus \{6,7,8\}}\)
Ad3. Formuła zgodna z Aksjomatem Podzbioru.
\(\displaystyle{ f(2)= \NN\setminus \{6,7,8\} ⇒\{x∈\NN:x∈f(2)\}=\{x∈\NN;x∈(\NN\setminus \{6,7,8\})}\) i \(\displaystyle{ _{1}=111110001(1)... }\)
\(\displaystyle{ VP(T3)=VP(\{x∈\NN:x∈f(2)\})=\{1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,...\}∈P(\NN)⇒ }\)
\(\displaystyle{ f(3)=\{x∈\NN:x∈f(2)\}}\)
Ad4.Krok po kroku sprawdzamy elementy zbioru \(\displaystyle{ B’}\)(definiowanego przez Aksjomatu Podzbioru): \(\displaystyle{ ???? VP(\{x∈\NN:x∈f(x)\}) ≟ B’}\)
\(\displaystyle{ 1\notin f(1)=\emptyset ⇒ VP (\{1∈\NN:1∈f(1)\}) = \{............................. ⇒ 1\notin B’}\) ----\(\displaystyle{ _{1}=0... }\)
\(\displaystyle{ 2∈f(2)=\NN\setminus \{6,7,8\} ⇒ VP (\{2∈\NN:2∈f(2)\}) =\{2, ................. ⇒ 2∈B’}\) ----\(\displaystyle{ _{1} =01... }\)
\(\displaystyle{ 3∈f(3)=\{x∈\NN:x∈f(2)\}⇒VP(\{3∈\NN:3∈f(2)\}) =\{2,3,........⇒3∈B’}\) ---- \(\displaystyle{ _{1} =011... }\)
Ponieważ bezpośrednio formuła nie wyznacza przynależności \(\displaystyle{ 4}\) do \(\displaystyle{ B’}\), sprawdźmy obydwa warianty czyniąc odpowiednie założenia:
\(\displaystyle{ Z1: 4∈f(4) \ i \ Z2: 4\notin f(4)}\):
\(\displaystyle{ Z1: 4∈f(4)= \{x∈\NN:x∈f(x)\} ⇒ VP (\{4∈\NN:4∈f(4)\}) = \{2,3,4.... ⇒ 4∈B’ }\)---- \(\displaystyle{ _{1} =0111... }\)co oznacza, że założenie spełnia formułę\(\displaystyle{ \{x∈\NN:x∈f(x)\}}\), a przy przeciwnym założeniu:
\(\displaystyle{ Z2: \ 4\notin f(4)=\{x∈\NN:x∈f(x)\} ⇒ VP (\{4∈\NN:4\notin f(4)\}) =\{2,3,4,... ⇒ 4\notin B’ }\)---- \(\displaystyle{ _{1} =0110... }\) co oznacza, że
to założenie również spełnia formułę\(\displaystyle{ \{x∈\NN:x∈f(x)\}}\)
Sumując: \(\displaystyle{ 1∉B’\ i \ 2∈B’\ i \ 3∈B’}\) i \(\displaystyle{ 4∉B’∋4 }\) i na czwartą cyfrę ciągu \(\displaystyle{ _{1} }\) pasuje zarówno \(\displaystyle{ 0 \ i \ 1 ⇒ ¬(VP(\{x∈\NN,x∈f(x)\}) =B’)}\), czyli formuła
\(\displaystyle{ \{x∈\NN:x∈f(x)\}}\) nie definiuje jednoznacznie zbioru i nie może być umieszczona w ciągu \(\displaystyle{ f}\).
Ad5. Zauważmy najpierw, że formuła \(\displaystyle{ \{x∈\NN:x∉f(x)\} }\) definiuje zbiór \(\displaystyle{ B \Leftrightarrow }\) formuła \(\displaystyle{ \{x∈\NN:x∈f(x)\}}\) definiuje zbiór \(\displaystyle{ B'}\) gdzie \(\displaystyle{ B’=\NN\setminus B}\)
formuła \(\displaystyle{ \{x∈\NN:x∈f(x)\}=T4}\) miała definiować zbiór \(\displaystyle{ B’=\NN\setminus B}\), lecz nie definiowała jednoznacznie zbioru dla tej funkcji \(\displaystyle{ f,}\) zatem mamy prawo twierdzić, że:
\(\displaystyle{ ¬(\{x∈\NN:x∉f(x)\}=B∈P(\NN))}\)
lecz możemy to sprawdzić przy pomocy procedury sprawdzającej \(\displaystyle{ VP}\) i funkcji charakterystycznej \(\displaystyle{ _{1} }\):
.......\(\displaystyle{ 1∉f(1) = \emptyset ⇒ VP(\{1∈\NN:1∉f(1)\}) = \{1,.................... ⇒1∈B=f(4) }\) ---- \(\displaystyle{ _{1}=1... }\)
.......\(\displaystyle{ 2∈f(2)=\NN\setminus \{6,7,8\}⇒VP(\{2∈\NN,2∉f(2)\}) = \{1,........... ⇒2∉B≡f(4) }\) ---- \(\displaystyle{ _{1} =10... }\)
.......\(\displaystyle{ 3∈f(3)=\NN\setminus \{6,7,8\}⇒VP(\{3∈\NN,3∉f(3)\}) = \{1,........... ⇒3∉B≡f(4)}\) ---- \(\displaystyle{ _{1}=100... }\)
\(\displaystyle{ Z1:4∈f(4)=\{x∈\NN:x∉f(x)\} ⇒VP(\{4∈\NN:4∉f(4)\})= \{1,... ⇒4∉B≡f(4)}\) ---- \(\displaystyle{ _{1} ≠1000... }\)
\(\displaystyle{ Z2:4∉f(4)=\{x∈\NN:x∉f(x)\} ⇒VP(\{4∈\NN,4∉f(4)\})= \{1,....⇒4∈B≡f(4)}\) ---- \(\displaystyle{ _{1} ≠1001... }\)
sumując: z powodu sprzeczności nie sposób określić czy \(\displaystyle{ 4}\) należy do \(\displaystyle{ B}\), czy nie należy (mimo, że \(\displaystyle{ 1∈B \ i \ 2,3∉B}\)), \(\displaystyle{ ¬(VP(\{x∈\NN,x∉f(x)\})=B)}\), czyli formuła \(\displaystyle{ \{x∈\NN:x∉f(x)\} }\) nie definiuje zbioru i nie może być umieszczona w ciągu \(\displaystyle{ f}\).
Formuły \(\displaystyle{ \{x∈\NN,x∉f(x)\}}\) użyto w dowodzie Cantora jako definicji zbioru \(\displaystyle{ B}\), który to zbiór powinien istnieć dla dowolnego ciągu podzbiorów, a tymczasem, jak pokazuję powyżej, już dla prostego ciągu (nawet gdyby był skończony na 5 tekście), formuła ta, z powodów autoreferencyjnych, takiego zbioru nie definiuje dla rozpatrywanego ciągu, jak również nie definiuje zbioru formuła uzupełniająca \(\displaystyle{ \{x∈\NN,x∈f(x)\}}\) i obie muszą zostać odrzucone z powodu ich autoreferencyjności. Na pozycję \(\displaystyle{ r=4}\) do ciągu \(\displaystyle{ f}\) kandyduje zatem tekst \(\displaystyle{ T6:}\)
Ad6. Pierwiastek z dwóch \(\displaystyle{ \sqrt2}\) zapisany binarnie:
1,0110101000001001111001100110011001011001100000111101...
1.234567891011121314151617181920212223242526272829...
Pod cyframi rozwinięcia binarnego wypisujemy kolejne liczby naturalne, a do tworzonego zbioru zabieramy tylko te z nich, które są sparowane z jedynkami zapisu binarnego:
\(\displaystyle{ VP(T6)=\{1,3,4,6,8,14,17,18,19,20,23,24,27,28,31,32,35,37,38,41,42,...\}}\)
Jak widać zarówno procedura weryfikacyjna VP, jak i funkcja charakterystyczna są dobrze określone, czyli wnioskujemy, że:
\(\displaystyle{ f(4)=T6= }\)Zbiór liczb naturalnych, dla którego funkcja charakterystyczna jest identyczna z binarnym zapisem pierwiastka z dwóch z pominięciem przecinka.
Do tych czterech powyższych tekstów funkcji \(\displaystyle{ f}\) mogą zostać dołączone następne teksty definiujące podzbiory liczb naturalnych. Kandydatami na kolejne miejsca mogą być teksty będące w bijekcji\(\displaystyle{ TB}\) z liczbami naturalnymi od \(\displaystyle{ 7}\) w górę zgodnie z tabelą zamienników liczb na znaki tekstowe zawartą w blogu:
Oczywiście wśród tych tekstów pojawią się powtórnie wszystkie teksty wyżej analizowane i to w dodatku nieskończoną ilość razy, co pokazuję w e-booku „ INFINITY: END of ALEPH ONE”, ale w tym eseju chciałem zwrócić uwagę na ważny element rozpatrywania zbioru potęgowego w postaci funkcji charakterystycznych zbiorów, które rozpatrywał także Cantor podczas formułowania swego dowodu o większej mocy zbioru potęgowego i które to także mi pomogły w znalezieniu błędu dowodu Cantora. A błąd ten polega na nieuwzględnieniu możliwości definiowania obiektów matematycznych tekstowo przy pomocy słów i znaków. Tymczasem nawet takie zapisy obiektów będących podzbiorami liczb naturalnych jak \(\displaystyle{ \{2,5,8\}}\), \(\displaystyle{ \{7\}}\), czy \(\displaystyle{ \{n∈\NN:n=k^3 \ i \ k∈\NN\}}\) nie są tymi podzbiorami i nie pomoże tu także funkcja charakterystyczna. Jesteśmy zdani na zapisy tekstowe matematycznych obiektów rzeczywistych, które znakomicie mogą przybliżyć nam ich pojmowanie – jedne łatwiej, inne nieco gorzej, ale nie potrafimy się bez nich obejść. A jeśli tak, to najprościej badać te właśnie teksty – porządkować je, przekształcać itp. – zachowując jednak przy tym baczną uwagę na ich odpowiedniki w idealnym świecie obiektów matematycznych, bo wiele tekstów takich odpowiedników mieć nie będzie, jak „dziewięciościan foremny” i formuła:
\(\displaystyle{ \{x∈\NN:x\notin f(x)\}}\) , która nie zawsze stanowi definicję jakiegokolwiek zbioru dla wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ \NN}\) w \(\displaystyle{ P(\NN)}\), zatem nie musi być elementem \(\displaystyle{ P(\NN)}\) ani wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\) i to z tej właśnie przyczyny powstaje sprzeczność w dowodzie Cantora, a niekoniecznie z tego, że funkcja ta nie może być suriekcją. Mogę śmiało rzucić wszystkim wyzwanie twierdząc, że na liście\(\displaystyle{ f}\) znajdują się wszystkie podzbiory liczb naturalnych, a jeśli ktoś uważa inaczej, niech poda, jaki zbiór tam został pominięty lub w jaki sposób można go wygenerować.
Jak bardzo enigmatyczne mogą być powyższe „definicje” możecie też sami się przekonać odpowiadając na pytanie:
Jakie elementy należą do zbioru \(\displaystyle{ B’}\) dla \(\displaystyle{ f}\) – prostej funkcji stałej \(\displaystyle{ f:\NN∋n→\{x∈\NN:x∈f(x)\}}\)?
Proszę sprawdzić czy \(\displaystyle{ B’=\{1,4\}}\)? Czy \(\displaystyle{ B’=\{ 5,6\}}\) ?
WNIOSKI
1. Narzucającym się wnioskiem jest wprowadzenie ograniczalności stosowania aksjomatu podzbioru o formuły autoreferencyjne, bo jak widać sam zakaz stosowania w tych formułach symbolu \(\displaystyle{ B }\)(jako symbolu definiowanego zbioru) jest niewystarczający.
2. Dowód Cantora o większej mocy zbioru potęgowego należy uznać za wadliwy, skoro domyślnie zakładał egzystencję zbioru \(\displaystyle{ B∈P(\NN)}\) zdefiniowanego przez \(\displaystyle{ \{x∈\NN,x∉f(x)\} }\) dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f:\NN\to P(\NN)}\).
CZYTELNIKU!: Jeśli myślisz, że powyższy ciąg \(\displaystyle{ f}\) jest mały i ograniczony i na pewno znajdziesz sposób skonstruowania elementów podzbioru \(\displaystyle{ \NN}\), lub sam podzbiór \(\displaystyle{ \NN}\), który na pewno w tym ciągu nie może się znaleźć, lub po jego dodaniu w cudowny sposób formuła \(\displaystyle{ \{x∈\NN,x∉f(x)\}}\) zacznie poprawnie działać, to spróbuj ten swój tekst dodać jako \(\displaystyle{ T6}\) do nowego ciągu \(\displaystyle{ ASAB1}\), i traktuj go, jako tekst wybrany przeze mnie z ogólnej puli wszystkich tekstów i sprawdź w procedurze sprawdzającej \(\displaystyle{ VP}\), czy formuła \(\displaystyle{ \{x∈\NN,x∉f(x)\}}\) przestanie być wadliwa i czy Twój tekst poprawnie wyznacza elementy podzbioru \(\displaystyle{ \NN}\) w procedurze sprawdzającej \(\displaystyle{ VP}\) oraz czy Twój tekst zostanie umieszczony w nowym ciągu \(\displaystyle{ f}\). Jeśli tam się znajdzie, to pewno poprawnie zdefiniowałeś ten podzbiór, ale zwróć uwagę, że był on w przeliczalnej puli wszystkich tekstów, jeśli nie – to zastanów się czy na pewno ten tekst chciałeś mi przysłać, jako definiujący podzbiór \(\displaystyle{ \NN}\) (mimo, że i ten tekst był zawarty w zbiorze wszystkich tekstów)?
W e-booku " INFINITY: END OF ALEPH ONE" omawiam też błędy innych wariantów metody diagonalnej Cantora, które miały dowodzić istnienia zbiorów nieprzeliczalnych.
