Zadając relację równoważności na zbiorze
\(\displaystyle{ X}\) dokonujesz jego podziału ale to działa też w drugą stronę dokonując podziału zbioru
\(\displaystyle{ X}\) definiujesz klasy abstrakcji. Zatem każdy podział jakiegoś zbioru jest świadomym lub nie zdefiniowaniem nań relacji równoważności. Układając książki na półce definiujesz różne relacje grupujące względem kolejność alfabetycznej, czasem kolor, czasem wielkość, czasem tematyki, a jeszcze innym czasem względem półek na których leżą książki. Wkładając ubrania do szafy też definiujesz relację równoważności na zbiorze ubrań dokonując podziału zbioru
\(\displaystyle{ \text{ubrania}}\) na klasy abstrakcji
\(\displaystyle{ \left[ \text{koszulka}\right] \cup \left[ \text{spodnie}\right] \cup \left[ \text{skarpetka}\right] \cup \left[ \text{majtki}\right] \cup ...}\), same podzbiory ubrań też mogą i często są dzielone (jako podział) na
\(\displaystyle{ \left[ \text{czerwone spódnice}\right] \cup \left[ \text{żółte spódnice }\right] \cup \left[ \text{zielone spódnice}\right] \cup ... }\) Podobnie z grupowaniem ludzi na stadionie, w klasie, w rzędach na sali wykładowej itd. Nie wiem czy o takie przykłady Ci chodzi ale jak dla mnie matematyka nie ma zastosowań w życiu codziennym nawet dla większości naukowców/inżynierów (praktyków korzystających z komputera). Zdefiniowanie relacji na jakimś zbiorze nie ma zastosowań w
tą stronę tj.:
\(\displaystyle{ \text{ definiuję relację} \sim \text{ na } X \ \rightarrow \ \text{czerpię z tego jakieś korzyści\lepiej rozumiem świat }}\)
Z drobnym wyjątkami (które są raczej wiedzą przydatną w programie
\(\displaystyle{ 1}\) z
\(\displaystyle{ 10}\)) w stylu mnemotechnicznych metod zapamiętywania. Przykłady:
Jeśli pływa i ma płetwę ogonową poziomą to jest to ssak wodny. Wszak na zwierzętach wodnych mających płetwę ogonową można wprowadzić relację bycia ssakiem definiowaną warunkiem posiadania poziomej płetwy ogonowej. Zbiór wodnych zwierząt z płetwą został zatem podzielony, te z pozioma to ssaki wodne. Podobnie z grzywami, są te z gąbką i te z blaszką. W pierwszym przybliżeniu (ale tu są wyjątki!!!) te z gąbką są prawie zawsze jadalne a te z blaszką są prawie zawsze niejadalne. Gdy zna się te kilka wyjątków dość szybko można naszyć się które grzyby są jadalne. Częściej z obserwacji widzę, że to działa raczej w drugą stronę tj.:
\(\displaystyle{ \text{lepiej rozumiem świat } \ \rightarrow \ \text{ definiuję podział } X \ \rightsquigarrow \ \text{podział zdefiniował relację choć nie koniecznie jestem tego świadomy} }\)
pod pojęciem
lepiej rozumiem świat kryje się sposób badania zbiory
\(\displaystyle{ X}\) jeśli jest to zbiór zwierząt wodnych to po prostu jest badamy czy są to ssaki czy ryby czy jeszcze coś innego, jeśli jest to zbiór grzybów to... nie wiem jak się bada aktualnie grzyby ze względy na jadalność. Wtedy korzystamy z atlasu, wiedzy ludowej itd. Po przebadaniu
\(\displaystyle{ X}\) lepiej go rozumiemy wtedy wyszczególniamy pewne jego cechy które zadają podział często cechy te są tak intuicyjne, że zatracamy świadomość, że jest to relacja.
PS podane przykłady nie koniecznie są idealne jeśli ktoś znajdzie ssaka wodnego z płetwą pionową to fajnie... po prostu ja takiego nie znam.
