Filozoficznie o dodawaniu

[pasjonat_matematyki]

Jak wiadomo znak dodawania (plusik) często bierze się w kółeczko by podkreślić, że to dodawanie nie musi być tym dodawaniem znanym z podstawówki.
Jeśli można je na różne sposoby definiować, to co usprawiedliwia fakt, że we wszystkich przypadkach używa się tego samego terminu 'dodawanie'?
Możliwe, że to banalne pytanie. Nie miałem jednak jeszcze wykładów z algebry abstrakcyjnej, mimo to już teraz bardzo mnie to ciekawi.

[AiDi]

to co usprawiedliwia fakt, że we wszystkich przypadkach używa się tego samego terminu 'dodawanie'?

Nie we wszystkich, czasem mówi się o 'mnożeniu' Zwykle chodzi o używanie nazwy, którą czytelnik/słuchacz dobrze już zna, bo po co wymyślać nową? To co się wybierze zależy często od tego, co definiowane działanie/konstrukcja bardziej przypomina, czy dodawanie czy mnożenie. Np. w algebrze liniowej mamy sumę prostą i iloczyn tensorowy przestrzeni, a nazwy są dobrane na podstawie tego, że te konstrukcje bardzo przypominają dodawanie i mnożenie. W teorii grup (przynajmniej w książkach pisanych przez fizyków, albo dla fizyków) działanie grupowe nazywa się zwykle mnożeniem. I tak w grupie \(\displaystyle{ (\mathbb{Z},+)}\) mnożeniem jest dodawanie liczb całkowitych

[pasjonat_matematyki]

Naprawdę wspólnym mianownikiem jest tu zjawisko kojarzenia? Ale to by oznaczało, że ostatecznie nie wiadomo czym jest dodawanie w matematyce.
Zawsze wydawało mi się, że sednem dodawania jest dołączanie, choćby dowolnie abstrakcyjnie rozumiane.

[AiDi]

Naprawdę wspólnym mianownikiem jest tu zjawisko kojarzenia?

Nie zawsze, ale często.

Ale to by oznaczało, że ostatecznie nie wiadomo czym jest dodawanie w matematyce.

No bo samo słowo "dodawanie" jest w gruncie rzeczy puste jeśli nie powiesz co dodajesz. Dodawanie liczb rzeczywistych? Wielomianów? Macierzy? Tak samo jest np. ze słowem "przestrzeń". Na pytanie "Co to jest przestrzeń?" najlepszą odpowiedzią jest "Ale jaka przestrzeń? Liniowa? Afiniczna? Dualna? Topologiczna? Banacha? Hilberta? Nuklearna? ...?". Albo mnożenie macierzy - mamy kilka nierównoważnych sposobów.

[pasjonat_matematyki]

No bo samo słowo "dodawanie" jest w gruncie rzeczy puste jeśli nie powiesz co dodajesz. Dodawanie liczb rzeczywistych? Wielomianów? Macierzy?

Ale tu wspólnym mianownikiem jest chyba 'dołączanie'? Elementy dochodzą do siebie. W jakim przypadku dodawanie nie byłoby dołączaniem?

Dodano po 44 minutach 26 sekundach:
Spróbujmy może pogłębić ten temat. To znaczy. Skoncentrujmy się na relacji pomiędzy ogólnymi wyobrażeniami co do dodawania i mnożenia i zapytajmy:
1) Czy faktycznie dzieje się tak, że odgrywają dużą rolę przy budowaniu teorii matematycznych? Ja bym powiedział, że tak, bo gdy coś przypomina Ci dodawanie (składowanie elementów jeden po drugim, dołączanie), to zdefiniujesz to raczej jako dodawanie właśnie.
2) Czy jest możliwe uniknięcie tego? Można próbować, ale co to by oznaczało? Że jak coś ci przypomina bardziej potęgowanie, to mimo tego definiujesz to jednak jako dodawanie?
3) Czy powinno się próbować tego uniknąć? Jeśli tak, to ze względu na co?

[kmarciniak1]

Mam wrażenie, że twój problem sprowadza się do semantyki a nie matematyki. Tak naprawdę zapytujesz dlaczego jakieś słowo ma określone znaczenie a nie jakieś inne. I postawienie takiego problemu w ogóle nie prowadzi do niczego. No chyba, że jest się filozofem analitycznym to wtedy sobie można prowadzić nie prowadzące donikąd dyskusje na temat nominalizmu, realizmu pojęciowego i Horus wie czego jeszcze.

[pasjonat_matematyki]

Można powiedzieć, że mamy tu do czynienia z obecnością pojęć filozoficznych w matematyce. Niektórzy uważają, że eksperyment jest sposobem na wyeliminowanie filozofii z nauki. I na tej postawie twierdzą, że uprawianie nauki bez filozofii jest możliwe. Gdybyśmy nawet założyli, że w matematyce eksperyment jest w jakiś sposób możliwy, to i tak nie ustalimy w ten sposób samej możliwości uprawiania nauki bez filozofii, bo celem takiego eksperymentu byłoby sprawdzenie, czy metoda eksperymentalna jest w stanie wyeliminować filozofię z nauki, czyli błędne koło.

Dodano po 4 minutach 31 sekundach:

Mam wrażenie, że twój problem sprowadza się do semantyki a nie matematyki.

Do roli semantyki w matematyce.