Topologia

[karolinac99]

Udowodnij, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ X}\)
a) otwarty wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \Fr(A) = \cl(A) \setminus A}\);
b) domknięty wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \Fr(A) = A \setminus \Int(A)}\).

Hej, Czy to nie będzie głupota jeżeli za \(\displaystyle{ \Fr(A)}\) podstawię sobie po prostu \(\displaystyle{ \cl(A)\setminus\Int(A)}\) i wtedy w a wyjdzie mi, że \(\displaystyle{ \Int(A)=A}\) i to oznacza, że zbiór jest otwarty. A w b wyjdzie \(\displaystyle{ \cl(A)=A}\) i to oznacza, że zbiór jest domknięty?


Z góry dziękuje bardzo za odpowiedź


\(\displaystyle{ \Fr}\)-brzeg
\(\displaystyle{ \cl}\)-domknięcie
\(\displaystyle{ \Int}\)-wnętrze

[Jan Kraszewski]

Hej, Czy to nie będzie głupota jeżeli za \(\displaystyle{ \Fr(A)}\) podstawię sobie po prostu \(\displaystyle{ \cl(A)\setminus\Int(A)}\) i wtedy w a wyjdzie mi, że \(\displaystyle{ \Int(A)=A}\) i to oznacza, że zbiór jest otwarty. A w b wyjdzie \(\displaystyle{ \cl(A)=A}\) i to oznacza, że zbiór jest domknięty?

To nie takie proste. Po pierwsze, w jaki sposób "wyjdzie Ci", że \(\displaystyle{ \Int(A)=A}\) (oraz że \(\displaystyle{ \cl(A)=A}\)) ? To wymaga uzasadnienia, bo w ogólności nie jest prawdą, że z \(\displaystyle{ C \setminus D=C \setminus E}\) wynika, że \(\displaystyle{ D=E}\) (podobnie jak z faktu, że \(\displaystyle{ C \setminus E=D \setminus E}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ C=D}\)). Po drugie, nawet jeśli uda Ci się to uzasadnić, to i tak masz tylko wynikania w jedną stronę, a w zadaniu są równoważności (choć te drugie wynikania są raczej trywialne).

Tak czy inaczej musisz się bardziej przyłożyć do uzasadnienia, tym bardziej, że to jest bardzo proste zadanie, więc nie można wykręcać się sformułowaniami "jak łatwo zauważyć".

JK

PS Używaj \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a.

[karolinac99]

Jakaś podpowiedź z czego mogę skorzystać, żeby to udowodnić?

[Jan Kraszewski]

Jest tylko jedna podpowiedź: musisz zrozumieć, co masz udowodnić. Reszta jest prosta (elementarny Wstęp do matematyki).

JK