Skrypt do analizy, pierwszy wykład - dziwny dowód

[Peter_85]

W sumie nie za bardzo wiedziałem gdzie umieścić ten wątek (w razie potrzeby proszę o przeniesienie go do bardziej odpowiedniego działu), bo dotyczy niby skryptu do wykładu z analizy matematycznej, ale chodzi o same jego początki, gdzie pojawiają się zagadnienia wstępne, takie jak definicja liczb naturalnych itp. Konkretnie chodzi o ten skrypt:

... -ciagi.pdf

Po definicji 1.29, w której autor określa czym jest zbiór \(\displaystyle{ N(k)}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\) (w szczególności \(\displaystyle{ N(0)}\) jest zbiorem liczb naturalnych), przychodzi czas na stwierdzenie 1.30 wraz z dowodem i tu zaczynają się schody. Autor niby stara się pokazać, że wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ N(k)}\) są większe lub równe \(\displaystyle{ k}\). Sęk w tym, że na moje oko z przedstawionego tam rozumowania nijak nie wynika spodziewana teza - jedyne co wynika, to to, że dla \(\displaystyle{ n \ge k}\) (a nie dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), jak chciałby autor) \(\displaystyle{ N(k)=A}\), co w żaden sposób nie dowodzi, że do zbioru \(\displaystyle{ N(k)}\) nie należą liczby mniejsze od \(\displaystyle{ k}\). Równie dobrze autor mógł sobie określić zbiór \(\displaystyle{ A}\) jako np. zbiór elementów \(\displaystyle{ N(k)}\) większych od dowolnego \(\displaystyle{ C}\) i na drodze analogicznego rozumowania "wyszłoby" mu, że wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ N(k)}\) są większe lub równe \(\displaystyle{ C}\).

Oto mój "konkurencyjny" dowód stwierdzenia 1.30: przypuśćmy, że do zbioru \(\displaystyle{ N(k)}\) należy
jakaś liczba \(\displaystyle{ n<k}\). Wówczas zbiór \(\displaystyle{ N'(k)=\left\{ n \in N(k): n \ge k\right\}}\) spełnia oba warunki występujące w definicji zbioru \(\displaystyle{ N(k)}\) i jest jego podzbiorem właściwym, co przeczy temu, że \(\displaystyle{ N(k)}\) jest najmniejszym w sensie zawierania zbiorem spełniającym postulowane warunki.

Kto tu bredzi? Ja czy autor skryptu?

[Jakub Gurak]

Kto tu bredzi? Ja czy autor skryptu?

Nikt. Autor po prostu nie zaznaczył (w dwóch miejscach) pewnych ważnych dla zrozumienia dowodu rzeczy, ale Twój dowód jest poprawny, i wiele prostszy Mam tylko zastrzeżenie w jednym miejscu:

przypuśćmy, że do zbioru \(\displaystyle{ N(k)}\) należy
jakaś liczba \(\displaystyle{ \red {n}\black {<k}}\)

A potem

Wówczas zbiór \(\displaystyle{ N'(k)=\left\{\red {n}\black\in N(k): n \ge k\right\}}\)

Po ustaleniu zmiennej \(\displaystyle{ \red {n}\black {<k}}\) zmienna n jest zajęta i nie wolno jej ruszać. Nie powiem, że to błąd, ale radzę na to uważać.

WYJAŚNIENIE TEGO DOWODU:    

Autor pokazuje, że \(\displaystyle{ k\in A}\), oraz że jeśli \(\displaystyle{ n\in A}\), to \(\displaystyle{ n+1\in A}\). Wobec czego zbiór \(\displaystyle{ A}\) spełnia te dwa warunki, a ponieważ zbiór \(\displaystyle{ N(k)}\) jest najmniejszymwzględem inkluzji zbiorem spełniającym te warunki, więc \(\displaystyle{ N _{k} \subset A}\). Ze sposobu konstrukcji \(\displaystyle{ A}\) mamy \(\displaystyle{ A\subset N _{k}}\), co razem daje \(\displaystyle{ A=N _{k}}\), zatem jeśli \(\displaystyle{ n \in N _{k}}\), to \(\displaystyle{ n\in A}\), a więc (z definicji zbioru \(\displaystyle{ A}\))dostajemy \(\displaystyle{ n \ge k.\square}\)

Jednak, gratuluje przeprowadzenia prostszego dowodu.

[Dasio11]

Autor po prostu nie zaznaczył (w dwóch miejscach) pewnych ważnych dla zrozumienia dowodu rzeczy ale Twój dowód jest poprawny, i wiele prostszy

Nie jest ani trochę prostszy, bo to jest dokładnie ten sam dowód.

Sęk w tym, że na moje oko z przedstawionego tam rozumowania nijak nie wynika spodziewana teza - jedyne co wynika, to to, że dla \(\displaystyle{ n \ge k}\) (a nie dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), jak chciałby autor) \(\displaystyle{ N(k)=A}\), co w żaden sposób nie dowodzi, że do zbioru \(\displaystyle{ N(k)}\) nie należą liczby mniejsze od \(\displaystyle{ k}\).

A dlaczego - Twoim zdaniem - z omawianego rozumowania nie wynika teza? Dowód jest napisany w dobrym stylu: autor po kolei stwierdza różne fakty, w zamierzeniu łatwo wynikające z poprzednich, a ostatnim stwierdzonym faktem jest postulowana teza. W takiej sytuacji powinieneś potrafić wskazać miejsce, które uważasz za niepoprawne, tj. stwierdzony w dowodzie fakt, który według Ciebie nie wynika z tego, co zostało stwierdzone wcześniej.

[krl]

Jak dla mnie, cytowany skrypt pana Krycha jest przeformalizowany. Dowodzi się tam rzeczy oczywistych, jednak w języku II rzędu. Rozumiem w jakimś stopniu ideę pokazywania studentom dowodów rzeczy oczywistych, zwłaszcza na pierwszym roku. Uczy to studentów podstawowej kultury matematycznej, zwłaszcza prowadzenia dowodów. Jednak jeśli do czytania tego skryptu zabierze się człowiek bez wstępnej wiedzy o zbiorach, będzie mógł mieć kłopoty z jego zrozumieniem.
Dobrym przykładem jest tu właśnie definicja 1.29 i stwierdzenie 1.30.
Definicja 1.29 to przykład rozwikłania definicji rekurencyjnej. Jest to klasyczna definicja predykatywna (rekursja jest tu rozwikłana). W każdej definicji predykatywnej definiowany obiekt powinien istnieć i być jedyny. W tym przypadku (biorąc pod uwagę elementarny charakter skryptu) istnienie definiowanego obiektu \(\displaystyle{ {\cal N}(k)}\) nie jest oczywiste, nie jest też w żaden sposób wyjaśnione. Stąd może rodzą się wątpliwości do dowodu stwierdzenia 1.30.
Myślę, że definiowanie w tym skrypcie zbioru liczb naturalnych tak, jak w definicji 1.29, to nadmiar formalizmu, który nie służy studentom. Podana definicja (1.29), a co za tym idzie również dowód stwierdzenia 1.30, początkującemu studentowi mogą wydawać się mętne. Nie spełniają więc wskazanej wyżej funkcji, nie uczą kultury matematycznej. Wręcz przeciwnie, nadmiar formalizmu czasami skutecznie zniechęca do matematyki. Osobiście w kontekście skryptu Krycha definiowałbym liczby naturalne w sposób naiwny: \(\displaystyle{ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}}\).
Mam jednak duże wątpliwości co do celowości wprowadzania liczb rzeczywistych w sposób nieelementarny (tzn. poprzez podanie teorii drugiego rzędu, której jedynym modelem jest \(\displaystyle{ \mathbb R}\)). Lepiej zacząć od liczb naturalnych i po bożemu jawnie skonstruować z nich liczby rzeczywiste. Własności liczb rzeczywistych raczej nie dowodzić, lecz podać do wierzenia.

[Peter_85]

Dziękuję za odpowiedzi. Wychodzi na to, że w dowodzie ze skryptu umknął mi fakt, że zbiór \(\displaystyle{ N(k)}\) jest najmniejszym zbiorem spełniającym dane warunki (tzn. autor korzysta z niego, ale dość milcząco) i dlatego miałem problem z zauważeniem inkluzji w jedną stronę.