\(\displaystyle{ \sin x:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\)
\(\displaystyle{ \cos x:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}\)
Liczba \(\displaystyle{ \pi}\) natomiast to dwukrotność najmniejszego dodatniego miejsca zerowego funkcji \(\displaystyle{ \cos}\).
Natychmiast pojawia się pytanie, co ze standardowymi "szkolnymi" definicjami. Widziałem oczywiście dowody odwołujące się do geometrycznych definicji, że sinus rozwija się właśnie w taki szereg, albo że okrąg ma długość równą \(\displaystyle{ 2\pi r}\). Z pewnych względów wydały mi się one jednak niesatysfakcjonujące. W większości były one oparte na fakcie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}\)
, który również był poparty dowodem, czasem geometrycznym, czasem wprost korzystającym z całego aparatu analizy i twierdzeń dowodzonych w ramach \(\displaystyle{ \RR^2}\). Jako, że posiadam (chyba całkiem niezłą) znajomość geometrii od strony aksjomatycznej, wiedziałem jak zdefiniować funkcje trygonometryczne w ramach teorii czysto syntetycznej. Chodzi mi tutaj o aksjomaty Hilberta geometrii euklidesowej. Jakiś czas temu doszedłem do pewnych konkluzji. Udało mi się w ramach tych aksjomatów wyprowadzić fakt, że okrąg jest prostowalną krzywą Jordana i stosunek jego długości do średnicy jest stały, co gwarantuje poprawną definicję liczby \(\displaystyle{ \pi}\), z czego następnie wynika poprawna definicja miary łukowej kąta. Potem wyprowadza się wspomnianą wyżej granicę i dalej już dość prosto rozwinięcie funkcji trygonometrycznych w szeregi potęgowe. W ten sposób dochodzi się do równoważności definicji analitycznych i syntetycznych (nazwijmy to szkolnych). Przy tym pokazanie tej równoważności gwarantuje także niezależność tych definicji od wyboru modelu aksjomatów Hilberta (można też próbować powoływać się na kategoryczność teorii Hilberta, żeby to uzasadnić). Przedstawię tutaj odpowiednie definicje i postaram się zarysować moje dowody. Zaznaczam od razu, że teoria jest bardzo rozbudowana.
Odcinkiem nazywamy każdy zbiór dwuelementowy \(\displaystyle{ \{a,b\}}\). Przyjmujemy oznaczenie \(\displaystyle{ ab:=\{a,b\}}\). Kątem nazywamy każdy zbiór \(\displaystyle{ \{A,B\}}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\)i \(\displaystyle{ B}\) są półprostymi o tym samym początku, różnymi i nie dopełniającymi. Przyjmujemy oznaczenie \(\displaystyle{ AB:=\{A,B\}}\). Wśród pojęć pierwotnych mamy relację przystawania odcinków i relację przystawania kątów. Oznaczamy je tym samym symbolem \(\displaystyle{ \equiv}\) (zazwyczaj nie prowadzi to do niejednoznaczności). Jednym z aksjomatów jest, że relacje te są relacjami równoważności.
Funkcję \(\displaystyle{ \mu}\) określoną na zbiorze odcinków o wartościach rzeczywistych nazywamy miarą odcinków wtedy i tylko wtedy, gdy
1) \(\displaystyle{ \mu(ab)>0}\)
2) \(\displaystyle{ ab\equiv cd \implies \mu(ab)=\mu(cd)}\)
3) \(\displaystyle{ B(abc)\implies \mu(ab)+\mu(bc)=\mu(ac)}\)
\(\displaystyle{ B}\) jest tutaj trzyargumentową relacją leżenia między - jednym z pojęć pierwotnych. \(\displaystyle{ B(abc)}\) oznacza, że punkt \(\displaystyle{ b}\) leży między \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) (na tej samej prostej)
Funkcję \(\displaystyle{ \mu}\) określoną na zbiorze kątów o wartościach rzeczywistych nazywamy miarą kątów wtedy i tylko wtedy, gdy
1) \(\displaystyle{ \mu(AB)>0}\)
2) \(\displaystyle{ AB\equiv CD \implies \mu(AB)=\mu(CD)}\)
3) \(\displaystyle{ B(ABC)\implies \mu(AB)+\mu(BC)=\mu(AC)}\)
\(\displaystyle{ B(ABC)}\) oznacza tutaj co innego niż \(\displaystyle{ B}\) wcześniej (zazwyczaj też nie prowadzi to do niejednoznaczności). Jest to relacja w zbiorze półprostych. \(\displaystyle{ B(ABC)}\) oznacza, że półproste \(\displaystyle{ A,B,C}\) mają wspólny początek oraz \(\displaystyle{ B}\) leży między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) (inaczej mówiąc we wnętrzu kąta \(\displaystyle{ AC}\)). W tym miejscu \(\displaystyle{ B}\) jest relacją wtórną - definiuje się ją przy pomocy pojęcia prostej i relacji \(\displaystyle{ B}\) na punktach. Pominę pełną definicję (mam nadzieję, że sens jest jasny).
Mamy twierdzenia:
Tw 1. Jeśli \(\displaystyle{ \mu_1,\mu_2}\) są miarami odcinków, to istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \lambda>0}\) taka, że \(\displaystyle{ \mu_1=\lambda\mu_2}\)
Tw 2. Dla dowolnej miary odcinków \(\displaystyle{ \mu}\) i liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x>0}\) istnieje odcinek \(\displaystyle{ ab}\) taki, że \(\displaystyle{ \mu(ab)=x}\).
Tw 3. Dla dowolnego odcinka \(\displaystyle{ ab}\) i liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x>0}\) istnieje dokładnie jedna miara miara odcinków \(\displaystyle{ \mu}\) taka, że \(\displaystyle{ \mu(ab)=x}\)
Tw 4. Jeśli \(\displaystyle{ \mu_1,\mu_2}\) są miarami kątów, to istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \lambda>0}\) taka, że \(\displaystyle{ \mu_1=\lambda\mu_2}\)
Tw 5. Dla dowolnej miary kątów \(\displaystyle{ \mu}\) i dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) takiej, że \(\displaystyle{ 0<x<2R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest miarą kąta prostego, istnieje kąt \(\displaystyle{ AB}\) taki, że \(\displaystyle{ \mu(AB)=x}\).
Tw 6. Dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ AB}\) i liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x>0}\) istnieje dokładnie jedna miara miara kątów \(\displaystyle{ \mu}\) taka, że \(\displaystyle{ \mu(AB)=x}\)
W tym miejscu od razu zastosuję ostatnie twierdzenie do pewnego kąta prostego i \(\displaystyle{ x=90}\). Mówiąc o mierze kątów będę miał na myśli właśnie tę miarę, która istnieje na mocy tego twierdzenia (oczywiście jest to miara stopniowa).
Przejdźmy do definicji sinusa:
Sinusem kąta ostrego \(\displaystyle{ AB}\) o wierzchołku \(\displaystyle{ o}\) nazywamy stosunek \(\displaystyle{ \frac{|ab|}{|oa|}}\), gdzie \(\displaystyle{ \triangle oab}\) jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku \(\displaystyle{ b}\) takim, że \(\displaystyle{ a\in A,b\in B}\), a \(\displaystyle{ |\cdot|}\) jest miarą odcinków.
Poprawność tej definicji wymaga wielu rzeczy. Po pierwsze trzeba udowodnić istnienie punktów \(\displaystyle{ a\in A, b\in B}\) takich, że \(\displaystyle{ \triangle oab}\) jest prostokątny. Wynika to z pewnika Euklidesa. Po drugie potrzebne jest istnienie miary odcinków, które wynika z twierdzenia 3. I wreszcie niezależność tej definicji od wyboru trójkąta \(\displaystyle{ \triangle oab}\) i miary odcinków, co wynika z twierdzenia Talesa i podobieństwa odpowiednich trójkątów oraz twierdzenia 1.
Żeby zdefiniować sinus dowolnego kąta \(\displaystyle{ AB}\) rozważmy przypadki:
1) \(\displaystyle{ AB}\) jest ostry. Wówczas sinus jest zdefiniowany tak, jak wcześniej.
2) \(\displaystyle{ AB}\) jest prosty. Wówczas \(\displaystyle{ \sin AB:=1}\).
3) \(\displaystyle{ AB}\) jest rozwarty. Wówczas \(\displaystyle{ \sin AB:=\sin A^*B}\), gdzie \(\displaystyle{ A^*}\) to półprosta dopełniająca do \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ A^*B}\) jest przyległy do \(\displaystyle{ AB}\).
W tym miejscu można się pokusić o definicję sinusa liczby rzeczywistej. Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in\RR, 0<x<180}\) na mocy twierdzenia 5, istnieje kąt \(\displaystyle{ AB}\) taki, że \(\displaystyle{ |AB|=x}\) (przypominam, że miara kątów jest stopniowa). \(\displaystyle{ \sin x}\) byłby wówczas równy z definicji \(\displaystyle{ \sin AB}\) (definicja nie zależy od wyboru \(\displaystyle{ AB}\), gdyż dowolne dwa kąty przystające mają taki sam sinus). W kolejnym kroku można rozszerzyć \(\displaystyle{ \sin}\) na całe \(\displaystyle{ \RR}\) zgodnie z obowiązującymi wzorami redukcyjnymi. Ogólnie nie będę się posługiwał tym sinusem (pochodzącym od miary stopniowej), żeby nie mylić z klasycznym sinusem (pochodzącym od miary łukowej) zdefiniowanym w dalszej części.
Kolejną rzeczą, która będzie mi potrzebna, to część ogólnej teorii długości krzywych w przestrzeniach metrycznych (de facto niezależnej od aksjomatów Hilberta). Niech \(\displaystyle{ (X,\rho)}\) będzie przestrzenią metryczną.
Podzbiór \(\displaystyle{ L\subset X}\) nazywamy łukiem wtedy i tylko wtedy, gdy jest on obrazem pewnej funkcji ciągłej i równowartościowej \(\displaystyle{ \Phi:[a,b]\rightarrow X}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in \RR, a<b}\). \(\displaystyle{ \Phi}\) nazywamy parametryzacją. Punkty \(\displaystyle{ \Phi(a),\Phi(b)}\) nazywamy końcami łuku (są one takie same dla każdej parametryzacji).
Podzbiór \(\displaystyle{ L\subset X}\) nazywamy łukiem Jordana wtedy i tylko wtedy, gdy jest on obrazem pewnej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ \Phi:[a,b]\rightarrow X}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\RR, a<b}\), takiej że \(\displaystyle{ \Phi(a)=\Phi(b)}\) oraz \(\displaystyle{ Phi|_{[a,b)}}\) jest różnowartościowa. \(\displaystyle{ \Phi}\) nazywamy parametryzacją.
Zarówno dla łuku, jak i dla łuku Jordana, definiujemy jego długość jako
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wahanie_funkcji\(\displaystyle{ d(L):=\bigvee_a^b\Phi}\)
Dowodzi się, że definicja nie zależy od wyboru parametryzacji.
Tw 7. Załóżmy, że \(\displaystyle{ L_1,L_2\subset X}\) są łukami, gdzie \(\displaystyle{ L_1}\) ma końce \(\displaystyle{ a,b}\) oraz \(\displaystyle{ L_2}\) ma końce \(\displaystyle{ b,c}\). Ponadto \(\displaystyle{ L_1\cap L_2=\{b\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ L_1\cup L_2}\) jest łukiem o końcach \(\displaystyle{ a,c}\) oraz \(\displaystyle{ d(L_1\cup L_2)=d(L_1)+d(L_2)}\).
Tw 8. Załóżmy, że \(\displaystyle{ L_1,L_2\subset X}\) są łukami, gdzie zarówno \(\displaystyle{ L_1}\) jak i \(\displaystyle{ L_2}\) mają końce \(\displaystyle{ a,b}\). Ponadto \(\displaystyle{ L_1\cap L_2=\{a,b\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ L_1\cup L_2}\) jest łukiem Jordana oraz \(\displaystyle{ d(L_1\cup L_2)=d(L_1)+d(L_2)}\).
Funkcję \(\displaystyle{ f:A\rightarrow B}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B\subset X}\) nazywamy podobieństwem wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją oraz istnieje liczba \(\displaystyle{ \lambda>0}\) taka, że
\(\displaystyle{ \rho(a_1,a_2)=\lambda\rho(f(a_1),f(a_2))}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ a_1,a_2\in A}\). Liczbę \(\displaystyle{ \lambda}\) nazywamy skalą podobieństwa (jest ona wyznaczona jednoznacznie, o ile \(\displaystyle{ A}\) zawiera co najmniej dwa punkty).
Tw 9. Jeśli \(\displaystyle{ L\subset X}\) jest łukiem (łukiem Jordana) oraz \(\displaystyle{ f:L\rightarrow L_1}\) jest podobieństwem o skali \(\displaystyle{ \lambda}\), to \(\displaystyle{ L_1}\) jest łukiem (łukiem Jordana) oraz \(\displaystyle{ d(L)=\lambda d(L_1)}\)
Tw 10. Załóżmy, że \(\displaystyle{ L}\) jest łukiem (łukiem Jordana) oraz \(\displaystyle{ \lambda>0}\). Wówczas \(\displaystyle{ \rho_1:=\lambda \rho}\) jest metryką na \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ L}\) jest łukiem (łukiem Jordana) w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X,\rho_1)}\) oraz \(\displaystyle{ d_{\rho_1}(L)=\lambda d_{\rho}(L)}\).
Wróćmy do geometrii. Na jakiś czas ustalmy pewną miarę odcinków \(\displaystyle{ |\cdot|}\). Funkcja o wzorze
\(\displaystyle{ \rho(a,b):=\begin{cases}0 & , a=b \\ |ab| & , a\neq b\end{cases}}\)
jest metryką na płaszczyźnie.
Załóżmy, że punkty \(\displaystyle{ a,b}\) leżą na okręgu \(\displaystyle{ S}\) o środku \(\displaystyle{ o}\) oraz \(\displaystyle{ o,a,b}\) są niewspółliniowe. Przekrój okręgu \(\displaystyle{ S}\) i wnętrza kąta \(\displaystyle{ \angle aob}\) wraz z punktami \(\displaystyle{ a,b}\) nazywamy łukiem wyznaczonym przez \(\displaystyle{ a,o,b}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ L(aob)}\). Czyli ilekroć \(\displaystyle{ a,o,b}\) są niewspółliniowe oraz \(\displaystyle{ ao\equiv bo}\), to punkty \(\displaystyle{ a,o,b}\) jednoznacznie wyznaczają łuk \(\displaystyle{ L(aob)}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ L(aob)=\{a,b\}\cup\left( S\cap \mathrm{int}\angle aob\right)}\) przy czym \(\displaystyle{ p\in\mathrm{int}\angle aob \iff B \left( \overrightarrow{oa}\overrightarrow{op}\overrightarrow{ob}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \overrightarrow{oc}}\) jest to półprosta wyznaczona przez punkty \(\displaystyle{ o}\) i \(\displaystyle{ c}\).
Udowodnimy, że dowolny łuk \(\displaystyle{ L(aob)}\) jest łukiem (w sensie poprzedniej definicji) oraz ma skończoną długość.
Niech \(\displaystyle{ L(aob)}\) będzie łukiem okręgu \(\displaystyle{ S}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ A:=\overrightarrow{oa},B:=\overrightarrow{ob},\alpha:=|\angle aob|=|AB|}\). Wówczas \(\displaystyle{ 0<\alpha<180}\). Określimy funkcję \(\displaystyle{ h}\) na zbiorze \(\displaystyle{ [0,\alpha]}\) o wartościach na płaszczyźnie. \(\displaystyle{ h(0):=a}\). Niech \(\displaystyle{ x\in (0,\alpha]}\). Wówczas \(\displaystyle{ 0<x<180}\). Na mocy twierdzenia 5 istnieje kąt \(\displaystyle{ PQ}\) taki, że \(\displaystyle{ |PQ|=x}\). Przez \(\displaystyle{ M}\) oznaczmy półpłaszczyznę o brzegu \(\displaystyle{ \overleftrightarrow{oa}}\) (jest to prosta wyznaczona przez \(\displaystyle{ o,a}\)), w której zawarta jest półprosta \(\displaystyle{ \overrightarrow{ob}}\). Zgodnie z jednym z aksjomatów istnieje (dokładnie jedna) półprosta \(\displaystyle{ Y}\) o początku \(\displaystyle{ o}\) zawarta w \(\displaystyle{ M}\) taka, że \(\displaystyle{ AY\equiv PQ}\). Wówczas \(\displaystyle{ |AY|=|PQ|=x}\). Na półprostej \(\displaystyle{ Y}\) zgodnie z jednym aksjomatów istnieje (dokładnie jeden) punkt \(\displaystyle{ y}\) taki, że \(\displaystyle{ oy\equiv oa\equiv ob}\). Przyjmujemy \(\displaystyle{ h(x):=y}\). Tak określona funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest ciągłą bijekcją \(\displaystyle{ h:[0,\alpha]\rightarrow L(oab)}\), a więc parametryzacją (dowód pominę). \(\displaystyle{ L(aob)}\) jest więc łukiem. Pozostaje pokazać, że ma on skończoną długość. W tym celu wystarczy pokazać, że istnieje stała \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) taka, że dla każdego podziału \(\displaystyle{ \{t_0,\ldots,t_n\}}\) odcinka \(\displaystyle{ [0,\alpha]}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\NN, 0=t_0<\ldots<t_n=\alpha}\), zachodzi
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\left| h(t_k)h(t_{k-1})\right| \leq C}\)
Z pewnika Euklidesa wynika, że prosta styczna do \(\displaystyle{ S}\) w punkcie \(\displaystyle{ a}\) przecina się z prostą styczną do \(\displaystyle{ S}\) w punkcie \(\displaystyle{ b}\). Oznaczmy ten punkt przecięcia przez \(\displaystyle{ p}\) i przyjmijmy \(\displaystyle{ C:=|ap|+|bp|}\). Niech \(\displaystyle{ \{t_0,\ldots,t_n\}}\) będzie podziałem odcinka \(\displaystyle{ [0,\alpha]}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\NN, 0=t_0<\ldots<t_n=\alpha}\). I niech \(\displaystyle{ s_i:=h(t_i), T_i:=\overrightarrow{os_i}}\) dla \(\displaystyle{ i=0,1,\ldots,n}\). Zarysuję kolejne kroki dowodowe:
Dla każdych \(\displaystyle{ i,j\in\{1,\ldots,n\}, i<j}\) zachodzi \(\displaystyle{ B(AT_iT_j)}\)
Dla każdych \(\displaystyle{ i_1,i_2,i_3,i_4\in\{0,1,\ldots,n\}, i_1<i_2<i_3<i_4}\), punkty \(\displaystyle{ s_{i_1},s_{i_2},s_{i_3},s_{i_4}}\) są (w tej kolejności) wierzchołkami czworokąta wypukłego.
Dla każdego \(\displaystyle{ i=1,\ldots,n}\) prosta \(\displaystyle{ \overleftrightarrow{s_is_{i-1}}}\) przecina prostą \(\displaystyle{ \overleftrightarrow{bp}}\) w pewnym punkcie \(\displaystyle{ r_i}\) i przyjmujemy dodatkowo, że \(\displaystyle{ r_0:=p}\).
Dla każdego \(\displaystyle{ i=0,\ldots,n-2}\) punkt \(\displaystyle{ s_{i+1}}\) leży we wnętrzu trójkąta \(\displaystyle{ \triangle s_ir_ib}\).
Dalej szacujemy z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\left| s_ks_{k-1}\right|=|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{n-2}s_{n-1}|+|s_{n-1}b|<|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{n-2}s_{n-1}|+|s_{n-1}r_{n-1}|+|r_{n-1}b|=\\=
|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{n-2}r_{n-1}|+|r_{n-1}b|<|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{n-2}r_{n-2}|+|r_{n-2}r_{n-1}|+|r_{n-1}b|=\\=
|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{n-2}r_{n-2}|+|r_{n-2}b|<\ldots<|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{i-1}s_i|+|s_ir_i|+|r_ib|=\\=
|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{i-1}r_i|+|r_ib|<|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{i-1}r_{i-1}|+|r_{i-1}r_i|+|r_ib|=\\=
|as_1|+|s_1s_2|+\ldots+|s_{i-1}r_{i-1}|+|r_{i-1}b|<\ldots<|as_1|+|s_1s_2|+|s_2r_2|+|r_2b|=\\=
|as_1|+|s_1r_2|+|r_2b|<|as_1|+|s_1r_1|+|r_1r_2|+|r_2b|=|ar_1|+|r_1b|<|ap|+|pr_1|+|r_1b|=|ap|+|bp|=C}\)
Natychmiastowym wnioskiem z dowodu jest, że \(\displaystyle{ d(L(aob))\leq 2R\tg AD}\), gdzie \(\displaystyle{ R=|ao|=|bo|}\), a \(\displaystyle{ D}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle aob}\) (tak naprawdę nierówność jest oczywiście ostra).
Tw. Jeśli \(\displaystyle{ L(aob), L(a'o'b')}\) są łukami okręgów odpowiednio \(\displaystyle{ S,S'}\) takimi, że \(\displaystyle{ \angle aob\equiv \angle a'o'b'}\), to łuki te są podobne w skali \(\displaystyle{ \lambda=\frac{R}{R'}}\), gdzie \(\displaystyle{ R=|oa|=|ob|, R'=|o'a'|=|o'b'|}\).
Dowód. Z odpowiedniej cechy podobieństwa \(\displaystyle{ \triangle aob\sim\triangle a'o'b'}\) i skala podobieństwa wynosi \(\displaystyle{ \frac{|oa|}{|o'a'|}=\frac{R}{R'}=\lambda}\). Skorzystam teraz z twierdzenia, którego dowodu akurat nie znam. Mianowicie dowolne podobieństwo można rozszerzyć do podobieństwa całej płaszczyzny. Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ f:\{a,o,b\}\rightarrow\{a',o',b'\}}\) \(\displaystyle{ f(a)=a',f(b)=b',f(o)=o'}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem. Rozszerzmy je do podobieństwa całej płaszczyzny \(\displaystyle{ F}\). Wystarczy pokazać, że obrazem \(\displaystyle{ L(aob)}\) jest \(\displaystyle{ L(a'o'b')}\). Ustalmy \(\displaystyle{ p\in L(aob)}\). Możemy założyć, że \(\displaystyle{ a\neq p\neq b}\) (gdyż \(\displaystyle{ F(a)=a', F(b)=b'}\)) Wówczas \(\displaystyle{ R=|po|=\lambda\cdot|F(p)F(o)|=\frac{R}{R'}|F(p)o'|}\), zatem \(\displaystyle{ |F(p)o'|=R'}\) i tym samym \(\displaystyle{ F(p)\in S'}\). Po drugie każde podobieństwo zachowuje współliniowość oraz relację leżenia między, zatem także relację \(\displaystyle{ B}\) leżenia między dla półprostych. Wobec \(\displaystyle{ B\left( \overrightarrow{oa}\overrightarrow{op}\overrightarrow{ob}\right)}\) mamy \(\displaystyle{ B\left( \overrightarrow{F(o)F(a)}\overrightarrow{F(o)F(p)}\overrightarrow{F(o)F(b)}\right)}\), czyli \(\displaystyle{ B\left( \overrightarrow{o'a'}\overrightarrow{o'F(p)}\overrightarrow{o'b'}\right)}\) i \(\displaystyle{ F(p)\in\mathrm{int}\angle a'o'b'}\). Zawieranie w drugą stronę dowodzi się analogicznie.
Wnioskiem skąd i z twierdzenia 9 jest, że stosunek długości łuków \(\displaystyle{ L(aob)}\) i \(\displaystyle{ L(a'o'b')}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{R}{R'}}\). W szczególności jeśli te promienie są równe, to łuki są izometryczne i mają równą długość. Kolejnym wnioskiem jest, że stosunek \(\displaystyle{ \frac{L(aob)}{R}}\) jest stały dla wszystkich łuków \(\displaystyle{ L(aob)}\) o takim samym kącie \(\displaystyle{ \angle aob}\). Z twierdzeń 1 i 10 wynika, że stosunek ten nie zależy także od wyboru miary odcinków. Każdemu kątowi \(\displaystyle{ AB}\) o wierzchołku \(\displaystyle{ o}\) przypiszmy właśnie ten stosunek, który nazwiemy miarą łukową kąta \(\displaystyle{ AB}\) i oznaczymy \(\displaystyle{ |\cdot|_L}\). Dwa kąty przystające mają tę samą miarę łukową. Ponadto z twierdzenia 7 wynika, że jeśli \(\displaystyle{ B(ABC)}\), to \(\displaystyle{ |AB|_L+|BC|_L=|AC|_L}\). Miara łukowa jest zatem miarą kątów.
Przejdźmy do definicji sinusa liczby rzeczywistej. Ustalmy \(\displaystyle{ x\in\RR}\), \(\displaystyle{ 0<x<2R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest miarą łukową kąta prostego (czyli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), ale tego jeszcze nie wiemy). Na mocy twierdzenia 5 istnieje kąt \(\displaystyle{ AB}\) taki, że \(\displaystyle{ |AB|_L=x}\). Definiujemy \(\displaystyle{ \sin x:=\sin AB}\) (definicja nie zależy od wyboru kąta \(\displaystyle{ AB}\)). Funkcję sinus rozszerzamy na całe \(\displaystyle{ \RR}\) zgodnie ze wzorami redukcyjnymi.
Tw. Dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR}\) takiego, że \(\displaystyle{ 0<x<R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest miarą łukową kąta prostego, zachodzi
\(\displaystyle{ \sin x\leq x\leq \tg x}\)
Dowód. Rozważmy kąt \(\displaystyle{ AB}\) o wierzchołku \(\displaystyle{ o}\) i o mierze łukowej \(\displaystyle{ 2x}\) i znajdźmy na ramionach tego kąta punkty \(\displaystyle{ a\in A, b\in B}\) takie, że \(\displaystyle{ oa\equiv ob}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ |oa|=R}\). Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie punktem przecięcia stycznych w punktach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Proste obliczenia dają \(\displaystyle{ |ab|=2R\sin x, |ap|+|bp|=2R\tg x}\). Mamy \(\displaystyle{ |ab|\leq L(aob)\leq |ap|+|bp|}\)
\(\displaystyle{ 2R\sin x\leq 2xR\leq 2R\tg x}\)
\(\displaystyle{ \sin x \leq x\leq \tg x}\)
Od tego momentu wyprowadzenie rozwinięcia Taylora robi się standardowo. Rozprawmy się jeszcze z liczbą \(\displaystyle{ \pi}\). Udowodnimy, że okrąg jest łukiem Jordana o skończonej długości.
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie okręgiem o środku \(\displaystyle{ o}\). Istnieją punkty \(\displaystyle{ a,b,c\in S}\) takie, że \(\displaystyle{ \triangle abc}\) jest równoboczny. Każdy z łuków \(\displaystyle{ L(aob),L(boc),L(coa)}\) jest łukiem o skończonej długości. Na podstawie twierdzenia 7 \(\displaystyle{ L(aob)\cup L(boc)}\) jest łukiem o końcach \(\displaystyle{ a,c}\). Na mocy twierdzenia 8 \(\displaystyle{ S=L(aob)\cup L(boc)\cup L(coa)}\) jest łukiem Jordana oraz \(\displaystyle{ d(S)=d(L(aob))+d(L(boc))+d(L(coa))<\infty}\).
Podobnie jak dla łuków dowodzi się, że dowolne dwa okręgi są podobne w odpowiedniej skali, i dalej że stosunek długości okręgu do promienia jest stały i niezależny od miary odcinków. Przyjmujemy więc \(\displaystyle{ \pi:=\frac{d(S)}{2R}}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest okręgiem o promieniu \(\displaystyle{ R}\). Udowodnijmy jeszcze, że miara łukowa kąta prostego wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). W celu w pewnym okręgu \(\displaystyle{ S}\) o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) obieramy wierzchołki kwadratu \(\displaystyle{ \square abcd}\) tak, by \(\displaystyle{ a,b,c,d\in S}\). Wtedy \(\displaystyle{ 2\pi=d(S)=d(L(aob))+d(L(boc))+d(L(cod))+d(L(doa))=4|\angle aob|_L}\)
\(\displaystyle{ |\angle aob|_L=\frac{\pi}{2}}\)
Na koniec wyprowadzę wzór na długość łuku \(\displaystyle{ L(aob)}\), gdzie \(\displaystyle{ \angle aob}\) ma miarę stopniową \(\displaystyle{ \alpha}\) i okrąg ma promień \(\displaystyle{ R}\). Zgodnie z twierdzeniem 4 istnieje \(\displaystyle{ \lambda>0}\) takie, że \(\displaystyle{ |\cdot|=\lambda|\cdot|_L}\). Porównując miary kątów prostych, \(\displaystyle{ \lambda=\frac{180}{\pi}}\). Zatem długość naszego łuku wynosi \(\displaystyle{ R|\angle aob|_L=R\frac{1}{\lambda}|\angle aob|=\frac{\pi R\alpha}{180}}\)