Logarytm a kolejność działań

[Trep]

W książce "Matematyka. Podstawa. Repetytorium matura. Zdasz.to", WSiP, 2014 na s. 30 widnieje 'wzór':
\(\displaystyle{ \log _a{bc}=\log _a b+\log _a c}\).

Identyczny 'wzór' widziałem również w pewnym 'podręczniku' do klasy I LO, przy okazjonalnej pomocy maturzyście.

Co, jeśli ktoś na maturze skorzysta z tego wzoru?
Na przykład w zadaniu ze zbioru CKE: "Wykaż, że \(\displaystyle{ \log _3 5\cdot\log _4 9\cdot\log _5 2=1}\)".

\(\displaystyle{ L=\log _3 5\cdot\big(\log _4 9+\log _4(\log _5 2)\big)=\log _3 5 +\log _3\big(\log _4 9+\log _4(\log _5 2)\big)=?}\)

Brak "kropki" w zapisie nie zmienia faktu, że tam jest mnożenie.
W innych dostępnych mi źródłach "wzór" podawany jest poprawnie.

[kerajs]

"Wykaż, że \(\displaystyle{ \log_3 5\cdot\log_4 9\cdot\log_5 2=1}\)".

Błędnie interpretujesz ten zapis.
\(\displaystyle{ \log_3 5\cdot\log_4 9\cdot\log_5 2=\left( \log_3 5\right) \cdot\left( \log_4 9\right) \cdot\left( \log_5 2\right) \\
\log_3 5\cdot\log_4 9\cdot\log_5 2 \neq \log_3\left( 5\cdot\log_4 9\cdot\log_5 2\right)\\
\log_3 5\cdot\log_4 9\cdot\log_5 2 \neq \log_3 \left( 5\cdot\log_4 \left( 9\cdot\log_5 2\right) \right)}\)

W zadaniu wykorzystasz inny wzorek:
\(\displaystyle{ \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}}\)
\(\displaystyle{ L=\log_3 5\cdot\log_4 9\cdot\log_5 2= \frac{\log_2 5}{\log_2 3 } \cdot \frac{\log_2 9 }{\log_2 4} \cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 5 }=...}\)

[Trep]

Błędnie interpretujesz ten zapis.

Błędnie interpretujesz mój post.

[piasek101]

W zasadzie dostałeś wyjaśnienie, że to co podajesz (cytujesz) jest źle zrobione.

[Jan Kraszewski]

Trep, nie bardzo wiem, z czym masz problem. Jeżeli maturzysta uważa, że

\(\displaystyle{ \log _4 9\cdot\log _5 2=\log _4 \left( 9\cdot\log _5 2\right),}\)

to według mnie jak najbardziej zasługuje na 0 punktów. Przytoczony wzór nie ma tu nic do rzeczy.

JK

[Trep]

Przytoczony wzór nie ma tu nic do rzeczy.JK

1.
Owszem, ma.
Jeżeli uczeń, późniejszy maturzysta, jest uczony 'wzoru', który przytoczyłem w początkowym poście,
to ma prawo tak interpretować zadanie.

Widzi 'wzór' w podręczniku, widzi 'wzór' na tablicy w szkole.

W moim poście pytam: "Co, jeśli...".
Czyja jest wówczas odpowiedzialność?
I czy maturzysta może się wówczas odwołać, wskazując błędny wzór w zatwierdzonym podręczniku, z którego go uczono?
Np. A. Przychoda, Z. Łaszczyk, Matematyka. Poznać, zrozumieć, WSiP 2013, s. 85.

2.
Russell z powodzeniem 'dowiódł', że "Jeśli 1+1=1, to on jest papieżem".
Tutaj sytuacja jest identyczna.
Maturzysta korzysta z fałszu, który podano mu w legalnym podręczniku i w państwowej szkole jako prawdę.
Nie można go winić za to, że go źle uczono.

Pytanie: co dalej?

[piasek101]

Nic. Błędy się zdarzały i będą się zdarzać.

Trzeba by zmienić prawo.
Sam błąd w podręczniku nie oznacza, że go tak uczono.

[Jan Kraszewski]

1.
Owszem, ma.
Jeżeli uczeń, późniejszy maturzysta, jest uczony 'wzoru', który przytoczyłem w początkowym poście,
to ma prawo tak interpretować zadanie.

Naprawdę tak uważasz? No to bardzo się różnimy.

Widzi 'wzór' w podręczniku, widzi 'wzór' na tablicy w szkole.

I uczy się go literalnie na pamięć, bez śladu zrozumienia co znaczy? Jego problem.

W moim poście pytam: "Co, jeśli...".
Czyja jest wówczas odpowiedzialność?
I czy maturzysta może się wówczas odwołać, wskazując błędny wzór w zatwierdzonym podręczniku, z którego go uczono?
Np. A. Przychoda, Z. Łaszczyk, Matematyka. Poznać, zrozumieć, WSiP 2013, s. 85.

Maturzysta zawsze może się odwołać, tylko że ja nie widzę w tym wzorze nic błędnego.

2.
Russell z powodzeniem 'dowiódł', że "Jeśli 1+1=1, to on jest papieżem".
Tutaj sytuacja jest identyczna.
Maturzysta korzysta z fałszu, który podano mu w legalnym podręczniku i w państwowej szkole jako prawdę.

Powtarzam, nie widzę w tym wzorze nic fałszywego. Mógłbyś to doprecyzować, podając jedyną poprawną (według Ciebie) wersję tego wzoru?

Nie można go winić za to, że go źle uczono.

Ten argument to dla mnie strzał kulą w płot. Gdyby maturzyści mogli się odwoływać, by byli "źle uczeni", to Okręgowe Komisje Egzaminacyjne do Wielkanocy nie wygrzebałyby się z rozpatrywania odwołań...

JK

[Trep]

1.

Maturzysta zawsze może się odwołać, tylko że ja nie widzę w tym wzorze nic błędnego.

Powtarzam, nie widzę w tym wzorze nic fałszywego. Mógłbyś to doprecyzować, podając jedyną poprawną (według Ciebie) wersję tego wzoru?

Proszę bardzo:
\(\displaystyle{ \log_a (bc)=\log_a b+\log_a c}\).

I jest obojętne, czy znak mnożenia się tam umieszcza, czy nie.
Powtarzam: "W innych dostępnych mi źródłach "wzór" podawany jest poprawnie."
Tylko w tych dwóch wydawnictwach WSiP-u, nie...

2.
Wszyscy znamy studenckie "żarty", kiedy nieświadomych obcokrajowców uczy się 'brzydkich słów" jako niby-grzecznościowych zwrotów.
Tu sytuacja jest poważniejsza: podręcznik podaje 'wrednie'* błędny "wzór" uczniowi, który nie jest w stanie być korektorem nowo poznawanych treści.


*wrednie, gdyż zwodniczo wydaje się być prawdziwy nawet matematykom...
Tylko tym jestem w stanie 'wytłumaczyć' ten błąd autorów w/w podręcznika.

A na błędy matematyczne, jako nauczyciel, jestem wyczulony.

3.
Przykład, który podałem, dawno temu byłby zapisywany bez mnożeń między logarytmami, co jeszcze bardziej myliłoby ucznia.
Tak jest np. w starych zbiorach zadań Gdowski, Pluciński czy Dróbka, Szymański.
Wówczas - fałszywość błędnego wzoru widać jak na dłoni...

[Jan Kraszewski]

Proszę bardzo:
\(\displaystyle{ \log_a (bc)=\log_a b+\log_a c}\).

I jest obojętne, czy znak mnożenia się tam umieszcza, czy nie.
Powtarzam: "W innych dostępnych mi źródłach "wzór" podawany jest poprawnie."
Tylko w tych dwóch wydawnictwach WSiP-u, nie...

Dla mnie on nadal nie jest błędny. Rozumiem oczywiście tę dbałość o precyzję, ale "niepoprawność" tego wzoru jest taka sama, jak "niepoprawność" wzoru

\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x.}\)

No ale rozumiem, że tu nie dojdziemy do porozumienia.

Tu sytuacja jest poważniejsza: podręcznik podaje 'wrednie'* błędny "wzór" uczniowi, który nie jest w stanie być korektorem nowo poznawanych treści.

No ale rzeczony uczeń raczej nie poznaje tych nowych treści jako samouk, tylko w szkole, gdzie oprócz wyglądu wzoru powinien poznać jego interpretację. No chyba, że szkoła aż tak bardzo się zmieniła...

JK

[Trep]

Rozumiem oczywiście tę dbałość o precyzję, ale "niepoprawność" tego wzoru jest taka sama, jak "niepoprawność" wzoru

\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x.}\)

No ale rozumiem, że tu nie dojdziemy do porozumienia.

Dojdziemy.
Czekałem na ten argument.
Rzecz w tym, że wyłącznie dla funkcji trygonometrycznych (i ew. cyklometrycznych) formułuje się twierdzenia "o f.tryg. (naturalnej) wielokrotności argumentu" i przy tej okazji umawia się na dopuszczalne opuszczanie nawiasów wokół (naturalnych) wielokrotności argumentu.
Mnie uczono tego jawnie, explicite, w obecnych podręcznikach już tego nie ma, bo też i trygonometria jest śladowa przed maturą.
Z rozpędu 'umowa' obejmuje także "argumenty połówkowe", pisane ze współczynnikiem 1/2, np. \(\displaystyle{ \sin\frac{1}{2}\alpha}\), bo przy zapisie \(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}}\) jest zbędna.

Nie ma twierdzeń "o logarytmie wielokrotności argumentu", od razu podaje się (niejawną) wersję funkcji dwóch równorzędnych zmiennych, więc i nie ma żadnej umowy, upraszczającej zapis logarytmu iloczynu.
Domyślam się, że sprawdzałeś (sprawdzisz) wiarygodne źródła i przekonałeś się, że bezwiednie a bezpodstawnie rozszerzałeś niepisaną umowę trygonometryczną na logarytmy.
Donoszę , że ja również... np. \(\displaystyle{ \log_2 4\sqrt[3]{16}}\) 'obliczyłbym' 'normalnie'.

Dopóki nie zobaczyłem 'gołego' wzoru z "b" i "c", który wprost kłuł w oczy.

Rzecz ma jeszcze inny aspekt, który również niejawnie inferuje na percepcję iloczynu w argumencie logarytmu.
Ale to przy innej okazji.
Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Spór jest w pewnym sensie jałowy, bo ja też uważam, że lepiej uczniom napisać ten wzór z nawiasami, żeby nie "zachęcać" ich do błędnych interpretacji. Jestem też w ogólności zwolennikiem zapisywania wyrażeń matematycznych w sposób unikający dwuznaczności.

Różnica między nami jest taka, że mnie ten wzór nie kłuje w oczy (co więcej, sam podaję, czy raczej przypominam ten wzór raczej w postaci beznawiasowej, no ale nie uczniom w szkole...). Ale to pewnie dlatego, że dla mnie wzór nigdy nie powinien być samym wzorem i nigdy nie dam się przekonać do traktowania wzorów czysto syntaktycznie (będę też trzymał się nadziei, że nie traktują ich tak nauczyciele w szkole). Stąd mój sprzeciw jeśli chodzi o nazywanie go "błędnym" bądź "fałszywym", które to określenia mają dla mnie kontekst zdecydowanie semantyczny.

JK

[pesel]

Rzecz ma jeszcze inny aspekt, który również niejawnie inferuje na percepcję iloczynu w argumencie logarytmu

Mogę prosić o wyjaśnienie tego zdania.

[a4karo]

Rzecz ma jeszcze inny aspekt, który również niejawnie inferuje na percepcję iloczynu w argumencie logarytmu

Mogę prosić o wyjaśnienie tego zdania.

Młody jesteś, to nie rozumiesz. Ale czemu ja też nie?

[Trep]

Spór jest w pewnym sensie jałowy, bo ja też uważam, że lepiej uczniom napisać ten wzór z nawiasami, żeby nie "zachęcać" ich do błędnych interpretacji. Jestem też w ogólności zwolennikiem zapisywania wyrażeń matematycznych w sposób unikający dwuznaczności.

Różnica między nami jest taka, że mnie ten wzór nie kłuje w oczy (co więcej, sam podaję, czy raczej przypominam ten wzór raczej w postaci beznawiasowej, no ale nie uczniom w szkole...).

Jest kolejna oczywistość, że znak relacji (<,=,>) 'zakańcza' argument, co odrobinę zmniejsza błąd autorów podręcznika, ale przecież logarytmy występują bardziej w działaniach niż we wzorach, 'otoczone' innymi liczbami. Gdzie wówczas ustanowić 'koniec' argumentu?
Nie odwołano nigdzie umowy, że znak działania również 'zakańcza' argument.
Np. tu:

\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x.}\)

po prawej stronie nienapisany znak mnożenia między literą "\(\displaystyle{ x}\)" a literą "c" oznacza, że skończył się argument sinusa. Dla lewej strony byłoby tak samo po liczbie 2, gdyby nie umowa, o której wspomniałem wyżej.

W tym świetle: nawet nienapisany znak mnożenia między \(\displaystyle{ b}\) a \(\displaystyle{ c}\) (w inkryminowanym 'wzorze' na logarym) również jednoznacznie oznacza koniec zapisu argumentu logarytmu.
Dlatego 'wzór' w tej postaci uważam za "błędny" i "fałszywy", zwłaszcza, że znajduje się w podręczniku. (I to na dodatek na długo przed jakimikolwiek funkcjami trygonometrycznymi...)

Stąd mój sprzeciw jeśli chodzi o nazywanie go "błędnym" bądź "fałszywym", które to określenia mają dla mnie kontekst zdecydowanie semantyczny. JK

Ale on jest błędny... Każdy inny podręcznik to 'powie'...
Każdy 'komputer' także to 'powie', od Excela począwszy...
Warto też zdawać sobie sprawę z tego, jakie mamy 'przyzwyczajenia', które czasami stoją w sprzeczności z wymogiem "unikania dwuznaczności".

Inny aspekt jest w odpowiedzi na kolejny post.
Pozdrawiam.