Całka Ito

[leg14]

Od razu zazanaczam, że nic sam na ten temat nie szukałem, bo jestem leniwy. Pytanie jest następujące:
Jaka jest motywacja dla całki Ito? P oco miałbym chcieć całkować po martyngałach (procesie Wiener'a w szczególności)?

Dlaczego własność :\(\displaystyle{ \int_{}^{} X dM}\) jest martyngałem (lokalnym marytygnałem itp.) jest pożądana?

[Wasilewski]

Wyobraź sobie, że chcesz znaleźć równanie ruchu pewnej cząsteczki poruszającej się w cieczy. Naiwnie napisałbyś równanie \(\displaystyle{ m\ddot{x} +k\dot{x} +\nabla V(x) = 0}\), gdzie człon \(\displaystyle{ k\dot{x}}\) odpowiada za siłę tarcia (lepkość cieczy), a \(\displaystyle{ V}\) to jakiś potencjał. Ale prawda jest taka, że jest mnóstwo innych cząsteczek, które zderzają się z Twoją cząsteczką i to w jakiś sposób wpływa na ruch Twojej cząsteczki; tych zderzeń jest na tyle dużo, że nie masz szans opisać ich dokładnie, więc najprościej jest założyć, że odbywają się w losowy sposób. To przekształca nasze równanie do postaci \(\displaystyle{ m\ddot{x} + k\dot{x} + \nabla V(x) = \xi_t}\), gdzie \(\displaystyle{ \xi}\) jest już pewną zmienną losową, opisującą wpływ zderzeń na ruch cząsteczki. Powinno być tak, że rozkład tych zmiennych jest niezależny od czasu, a poza tym zmienne te powinny być wszystkie niezależne i pewnie w jakimś sensie zależne od czasu w sposób ciągły; tak się nie da, chyba że lubimy zmienne losowe o wartościach o dystrybucyjnych. Na szczęście nie wszystko stracone. Przyjmijmy założenie, że człon \(\displaystyle{ m\ddot{x}}\) jest pomijalny, żeby mieć równanie pierwszego rzędu \(\displaystyle{ k\dot{x} = -\nabla V(x) + \xi_t}\). W postaci całkowej dostaniemy \(\displaystyle{ k dx_{t} = -\nabla V(x_{t})dt + \xi_t dt}\). I teraz, o ile sam proces \(\displaystyle{ (\xi_t)}\) jest kłopotliwy, to jego odcałkowana wersja \(\displaystyle{ \int \xi_t dt = W_t}\) to dokładnie proces Wienera; to odcałkowanie przeprowadzamy w sensie psychologicznym, a nie jakoś uczciwie. Zatem żeby rozwiązywać tego typu równania, musimy umieć całkować względem procesu Wienera, bo równanie jest postaci \(\displaystyle{ dx_t = f(x_t)dt + dW_t}\); jest to dość kłopotliwe, bo każda trajektoria z osobna nie jest funkcją o wahaniu skończonym, więc naiwne podejście przez całkę Stieltjesa nie działa. Dlatego właśnie potrzebna jest całka Ito (lub Stratonowicza).

Jeśli chodzi o bycie martyngałem, to kojarzy mi się, że własność ta jest pożądana w matematyce finansowej; prawdopodobnie ma to coś wspólnego z arbitrażem (a raczej jego brakiem). Natomiast nie jest prawdą, że wszystkie całki stochastyczne pojawiające się w zastosowaniach to całki Ito. Ale w matematyce najczęściej właśnie bada się całki Ito, bo mają najlepsze własności, poza tym inne całki stochastyczne da się najczęściej wyrazić za pomocą całek Ito.

[janusz47]

W Matematyce Finansowej - równaniu różniczkowym - cząstkowym Blacka-Sholesa.