Definicja dodawania

[render12]

Witam

Jak uważacie jaka jest definicja dodawania?
Czy w ogóle takowa istnieje czy jest to intuicyjna działanie.

Pozdrawiam

[suppali1]

Jest to raczej intuicyjne, można podać aksjomaty.
Aksjomaty dodawania:
1. \(\displaystyle{ x+(y+z)=(x+z)+y \iff x+(y+z)=(x+z)+y}\)
2. Dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y}\), istnieje \(\displaystyle{ z}\), takie że \(\displaystyle{ x+z=y}\)
3. \(\displaystyle{ x+y<z+w \Rightarrow x<z}\) lub \(\displaystyle{ y<w}\)

[szw1710]

Wszystko jest zakorzenione w intuicji. Przecież dodawanie pieniędzy towarzyszy nam od zawsze i nie trzeba matematyki, aby je uprawiać. Matematyka pojawia się wtedy, gdy próbujemy dostrzegać pewne prawidłowości. Np. to, że \(\displaystyle{ 5+2=2+5}\) (przemienność), \(\displaystyle{ 7+8=7+(3+5)=(7+3)+5=10+5=15}\) (łączność) itp. Przecież to robimy intuicyjnie. Mniej więcej tak jak molierowski Pan Jourdain, który nie wiedział, że mówi prozą.

Źródeł matematycznej definicji dodawania liczb naturalnych dopatrywałbym się w aksjomatyce Peano, która kładzie mocny akcent na następnik.

[Jan Kraszewski]

Jak uważacie jaka jest definicja dodawania?

Definicja dodawania czego?

JK

[render12]

Liczb w dziedzinie np. \(\displaystyle{ \in\RR}\).

[Milczek]

Liczb w dziedzinie np. \(\displaystyle{ \in\RR}\).

A czemu akurat \(\displaystyle{ \RR}\) ? Przykładowo mamy liczby zespolone w których dodawanie dwóch liczb ma inną definicję.

[render12]

Czesc, mam taką wątpliwość co sądzicie.
Dodawanie \(\displaystyle{ a+b}\) to wyraz a powiększony o \(\displaystyle{ b}\), zaś \(\displaystyle{ b+a}\) to wyraz \(\displaystyle{ b}\) powiększony o \(\displaystyle{ a}\), generalnie czy istnieje formalizm dla właśnie zapisu dodawania i sposobu jego interpretacji?
Kolejność czytania od lewej strony do prawej mogła by to sugerować, do liczby \(\displaystyle{ a}\) dodaj \(\displaystyle{ b}\) (liczbę \(\displaystyle{ a}\) powiększ o \(\displaystyle{ b}\) i odwrotnie).
Wiem dodawanie jest przemienne więc właściwie to bez znaczenia, ale mi się rozchodzi o formalizm, czy takowy w ogóle istnieje.
A też może, żeby traktować o przemienności to jakąś kolejność interpretowania należy przyjąć, by ją było widać.

[Milczek]

Czesc, mam taką wątpliwość co sądzicie.
Dodawanie \(\displaystyle{ a+b}\) to wyraz a powiększony o \(\displaystyle{ b}\), zaś \(\displaystyle{ b+a}\) to wyraz \(\displaystyle{ b}\) powiększony o \(\displaystyle{ a}\), generalnie czy istnieje formalizm dla właśnie zapisu dodawania i sposobu jego interpretacji?
Kolejność czytania od lewej strony do prawej mogła by to sugerować, do liczby \(\displaystyle{ a}\) dodaj \(\displaystyle{ b}\) (liczbę \(\displaystyle{ a}\) powiększ o \(\displaystyle{ b}\) i odwrotnie).
Wiem dodawanie jest przemienne więc właściwie to bez znaczenia, ale mi się rozchodzi o formalizm, czy takowy w ogóle istnieje.
A też może, żeby traktować o przemienności to jakąś kolejność interpretowania należy przyjąć, by ją było widać.

Trochę pokrętne to pytanie. Zastanawiasz się czy operacje takie jak np. dodawanie mają jakiś głębszy formalizm w matematyce? To tak, oczywiście mają. Być może wiedza jakiej poszukujesz byłby w dziale matematyki zwanym teoria grup. Ale odpowiadając na część twojej wypowiedzi : o formalizowanie \(\displaystyle{ a+b}\) bądź \(\displaystyle{ b+a}\) to w matematyce bardzo często nie są to tożsame wielkości i kolejność działania ma znaczenie gdzie formalizmy kryjący się w konrketnym przypadku mówi co wolno a co nie. Dodatkowo, wydaje mi się że nia ma jakiegoś "ogólnego" opisu jak powinno się wykonywac operaacje i raczej należy patrzeć na konkretne przypadki osobno.

[render12]

Zapytam jeszcze o coś takiego, co uważacie. Jeśli piszę a + b, to czytamy to "a dodać b". Wiec w języku polskim, językowo oznacza to a dodać b, czyli ,że to do a dodaję b, czy też a dodaj do b bo tak też można to interpretować, przeczytać. Wydaje się, że można te słowa "a dodać b" interpretować na dwa sposoby, o których wspomniałem. Albo neutralnie, a dodać b, to po prostu przeczytanie działa, a jak to zrobisz to twoja sprawa i jak chcesz to rozumieć. Mi bardziej rozchodzi się o językową kwestię. Co uważacie?

Dodano po 21 godzinach 19 minutach 24 sekundach:
Proszę o zdanie dla powyższego. Nie wiem dlaczego, ale a dodać b intuicyjnie rozumiem do liczby a dodaj liczbę b, czy to jest poprawne w kontekście językowym, czy nie, bo matematycznie tak i jest to bez znaczenia?

Dodano po 1 dniu 3 godzinach 26 minutach 22 sekundach:
Proszę o zdanie. a+b - jeśli przeczytam to tak "a dodać b" to oznacza to -> 1.do a dodaj b, czy 2. do b dodaj a? Przeczytanie tak: "a dodać b" sugeruje tę pierwszą wersję, ale dlaczego, ktoś powie, że tę drugą?

Dodano po 45 minutach 42 sekundach:
Bo w przypadku odejmowania, językowo a-b można by interpretować, że to b odejmuję od a, dlaczego nie , ale będzie to niepoprawne (matma to nie j.p) dlaczego? bo umówiono się, że to od pierwszej liczby odejmujemy drugą. W przypadku dodawania takiej umowy nie ma, aczkolwiek można by było coś przyjąć dla pokazania przemienności dodawania. W dalszym ciągu proszę o zdanie.

[render12]

Proszę o zdanie. Jeśli mówisz a dodać b, a+b to do a dodasz b, czy do b dodasz a? Przecież przy definiowaniu tego działania, dodawania, coś trzeba było przyjąć, żeby móc potem też zdefiniować przemienność. Oraz językowo jak jest z tym działaniem jeśli mówimy o dodawaniu to język sugeruje, którą liczbę dodaję do której, mówiąc a dodać b?

Dodano po 1 dniu 22 godzinach 22 minutach 31 sekundach:
Czy jezyk polski sugeruje, którą liczbę dodaję do której, dlaczego brak odpowiedzi z waszej strony?

[render12]

Pana Jana Kraszewskiego można prosić o zdanie? Czy ktoś może pomóc?

[matmatmm]

Słowo "dodać" powstało w języku polskim (i zapewne w każdym innym) znacznie wcześniej niż formalna definicja dodawania. Najprawdopodobniej wtedy, gdy ludzie zaczęli mówić np. "dwa dodać trzy" przemienność dodawania była dla nich tak oczywista, że nie zastanawiali się nawet w jakiej kolejności to dodają.

Biorąc pod uwagę struktury algebraiczne, w których dodawanie nie jest przemienne, gdy ktoś powie "a dodać b" (mając na myśli dodawanie w takiej strukturze) zazwyczaj ma on na myśli wyrażenie \(\displaystyle{ a+b}\). Jednak rozstrzygnięcie czy jest to "dodawanie a do b" czy "dodawanie b do a" wydaje mi się niemożliwe, bo obie wersje językowo mają sens (przynajmniej dla mnie).

Odchodząc od kwestii językowych, definiując symbol \(\displaystyle{ n+m}\) dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ n,m}\), rzeczywiście trzeba rozróżnić kolejność, a dopiero potem dowodzić przemienność dodawania. Mam tutaj na myśli definicję opartą o aksjomaty Peana liczb naturalnych.

[render12]

"Biorąc pod uwagę struktury algebraiczne, w których dodawanie nie jest przemienne, gdy ktoś powie "a dodać b" (mając na myśli dodawanie w takiej strukturze) zazwyczaj ma on na myśli ..."

A co jeśli bierzemy struktury, w których dodawanie jest przemienne to rozstrzygnięcie czy jest to "dodawanie a do b" czy "dodawanie b do a" jest możliwe? Wydaje się, że też nie. Nie dotyczy to tylko struktur nieprzemiennych. Można by to sformalizować, pytanie czy gdzieś jest?
Wydaje się, że symbol matematyczny dodawania, można traktować w aspekcie matematyki a nie języka polskiego, wtedy te kwestie słowne są nieistotne.

[matmatmm]

Tak, w strukturach, w których dodawanie jest przemienne "a dodać b" to też będzie zazwyczaj \(\displaystyle{ a+b}\). I taki symbol w pewnym sensie jednoznacznie określa obiekt matematyczny. Gdy pisałem o niemożliwym rozstrzygnięciu, miałem na myśli kwestie językowe. Wyjaśnię może, czemu napisałem "w pewnym sensie". Gdy mamy działanie, które jest przemienne, to często nie ma jednej jedynej "słusznej" definicji tylko są dwie możliwe, dlatego że zmieniając definicję na taką, która odpowiada przeciwnej kolejności, dostajemy to samo działanie. Ale uwaga, przemienność z formalnego punktu widzenia wymaga dowodu. W przypadku standardowego dodawania np. liczb naturalnych, mało kto ten dowód podaje (jest on na dość zaawansowanym poziomie). Z drugiej strony nie każdy może potrzebuje takiego zgłębiania podstaw matematyki.

W ramach odpowiedzi na pytanie o definicję dodawania zerknij sobie tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb#Aksjomatyka_Peana