Postanowiłem napisać taki post poruszający któryś raz pytanie dlaczego silnia z zera 0! równa się jeden. Na pierwszy rzut oka nie wygląda to na takie oczywiste zwłaszcza że silnia z jedynki 1! też równa się jeden, dalsze postępowanie z silnia wydaje się być intuicyjne. Post rozpocząłem do otwartej prostej dyskusji, tzn takiej w której będą używane proste sformułowania właściwe w drodze poznawania i rozumienia podstaw, czyli takiej w której w końcu coś staje się oczywiste i intuicyjnie prawidłowe, tzn nie wzbudzające w nas sprzeczności.
Co to jest silnia ? Jest to wzór na permutację, czyli jest to wartość reprezentująca ilość wystąpienia czegoś powstałą na pewne zapytanie dotyczącą elementów zbioru.
1. Np mamy worek z 4 elementami.
2. Jeśli by wyjmować z tego worka wszystkie elementy to na ile sposobów moglibyśmy je wyjąć, czyli jakie i ile powstałoby kolejności/układów , pytamy tak naprawdę o przyszłość, czyli na ile możliwych sposobów możemy wyjąć te elementy.
Ok, worek to jest pewien zbiór, nie jest to wartość, ani czynnik, ani iloraz itp. Jest zbiorem z elementami. Elementy mogą reprezentować cokolwiek. Akurat w naszym przypadku są to cyfry, mogą one być wynikiem działania algebraicznego, albo jakieś funkcji. Zero też może być wynikiem jakiegoś działania algebraicznego, więc czymś jest, a na pewno jest elementem.
Ok, jak policzyć ilość tych układów w przypadku ilości elementów o wartości cztery ? Można to zrobić na siłę, układając sobie te układy. Zauważono jednak że przy tego rodzaju zapytania odpowiedź można znaleźć za pomocą pewnego wzoru, który to wylicza szybciej. Wzór polega na wymnożeniu pozycji elementów, zaczynając od jedynki, czyli pierwszego elementu zbioru kończąc na ostatnim. Pozycje elementów liczymy od jedynki. Wzór na silnie to jest \(\displaystyle{ 1 cdot 2 cdot 3}\) razy numer ostatniego elementu, nie \(\displaystyle{ 0 cdot 1 cdot 2 cdot 3}\) itd. Wzór ten jednoznacznie jakby pokazuje że permutacji możemy dokonać tylko i wyłącznie na istniejących elementach, co jest intuicyjnie słuszne.
Jeśli by w worku znajdowało sie zero i jabłko to mamy wtedy dwa elementy i możemy im przyporządkować wtedy zgodnie z założeniami dwa numery jeden i dwa, bo gdyby zabrakło któregoś z tych przedmiotów to nie mógłby on mieć żadnego numeru, bo po prostu by go nie było, n ie mógłby on miec numeru zero, bo go tam nie ma, więc numeru porządkowego zero nie ma. I tak cztery elementy w zbiorze mogą mieć cztery numery porządkowe, czyli 1,2,3,4, nie jest tu istotna wartość elementów ani tym czym są a przypisanie numerów porządkowych może być umowne, ważne aby były po kolei.
Jeśli byśmy mieli dwa elementy w zbiorze to ilość tych układów wyliczamy \(\displaystyle{ 1 cdot 2}\), co równa się 2 a zapisuje jako \(\displaystyle{ 2!}\). Przy trzech elementach będzie to \(\displaystyle{ 1 cdot 2 cdot 3}\) czyli \(\displaystyle{ 3!}\). I przy czterech elementach, ilość układów obliczymy za pomocą wymnożenia kolejnych czterech pozycji.
Po co ten wywód ? Zaintrygowało mnie pytanie dlaczego silnia z zera równa sie jeden ? Różne czytałem odpowiedzi, ale prawie żadne, które by to tłumaczyło w prosty sposób, bo jest to przecież jakaś podstawa i w prosty sposób powinna byc wytłumaczona.
Wynik silni nazwano wartością permutacji, czyli odpowiedzią na ile sposobów możemy wyciągnąć wszystkie elementy ze zbioru.
Zero możemy wyciągnąć na jeden możliwy sposób. Jeśli w zbiorze będzie jedynka to ją tez możemy wyciągnąć na jeden możliwy sposób, jeśli będzie tylko dwójka to tez na jeden możliwy sposób, bo w zbiorze będzie zawsze jeden element, który można wyciągnąć na jeden możliwy sposób. Nie ważne jakie wartości maja elementy, albo czym są ważne, że w zbiorze coś jest co jest elementem. Zero może być elementem. Tak więc według mnie zapis 0! nie jest prawidłowy, bo sugerowałby pusty zbiór a nie ilość elementów a przecież wzór silni bierze właśnie tą wartość ilości elementów w zbiorze.
Albo to źle jest zapisane, albo nie ma zbiorów pustych. I dla mnie to by było logiczne jeśli tworzymy jakiś zbiór to nie może być on pusty, bo inaczej byśmy go nie mogli zdefiniować. Zbiory są elementami czegoś a nie wartościami a więc coś tam zawsze musi być. To tak jak z dzieleniem przez zero, nie ma go, bo twierdzi nieprawdziwość.
Zaintrygował mnie ten post:
369519.htm
czego wynikiem jest mój post, w którym jeden z forumowiczów zadał w dyskusji pewne pytania a zwłaszcza drugie.
Permutacją nazwano ilość możliwych wszystkich układów z elementów będących w zbiorze. Jeśli zbiór jest pusty to nie ma w nim elementów a więc nie możemy zastosować silni. Może nie być zbioru, ale nie może nie być elementów w zbiorze bo wówczas nie może być on zbiorem. Nie jest on zerem, po prostu nie istnieje. Można wykonywać działania na zbiorach jako elementach innych zbiorów, ale nie da się wykonać działania na elementach nie istniejących bo nie mogą one stanowić żadnego zbioru.Jarmil pisze: 1. W matematyce każde założenie się z czegoś bierze. Musi mieć jakąś konkretną przyczynę.
2. Skąd wiadomo że zbiór pusty można w ogóle spermutować ?
3. Żeby wyrażenie miało sens ?
Jeszcze raz na koniec zero w zbiorze możemy spermutować na jeden możliwy sposób 1!, bo jest jedynym elementem zbioru o numerze porządkowym 1. Pustego zbioru nie możemy spermutować, bo nie ma w nim żadnych elementów, nie możemy dokonać permutacji na czymś czego nie ma a zatem nie możemy zastosować wzoru na silnię, który odwołuje sie tylko do kolejności elementów. Albo definicja silni jest zła, albo puste zbiory nie są zbiorami.
Prosiłbym o prosta formę odpowiedzi o używanie prostej matematyki, najprostszej jeśli to jest możliwe, bez zaawansowanych wzorów, tak jakby to były podstawy matematyki.