Silnia z zera

[darek334]

Witam,
Postanowiłem napisać taki post poruszający któryś raz pytanie dlaczego silnia z zera 0! równa się jeden. Na pierwszy rzut oka nie wygląda to na takie oczywiste zwłaszcza że silnia z jedynki 1! też równa się jeden, dalsze postępowanie z silnia wydaje się być intuicyjne. Post rozpocząłem do otwartej prostej dyskusji, tzn takiej w której będą używane proste sformułowania właściwe w drodze poznawania i rozumienia podstaw, czyli takiej w której w końcu coś staje się oczywiste i intuicyjnie prawidłowe, tzn nie wzbudzające w nas sprzeczności.
Co to jest silnia ? Jest to wzór na permutację, czyli jest to wartość reprezentująca ilość wystąpienia czegoś powstałą na pewne zapytanie dotyczącą elementów zbioru.

1. Np mamy worek z 4 elementami.
2. Jeśli by wyjmować z tego worka wszystkie elementy to na ile sposobów moglibyśmy je wyjąć, czyli jakie i ile powstałoby kolejności/układów , pytamy tak naprawdę o przyszłość, czyli na ile możliwych sposobów możemy wyjąć te elementy.

Ok, worek to jest pewien zbiór, nie jest to wartość, ani czynnik, ani iloraz itp. Jest zbiorem z elementami. Elementy mogą reprezentować cokolwiek. Akurat w naszym przypadku są to cyfry, mogą one być wynikiem działania algebraicznego, albo jakieś funkcji. Zero też może być wynikiem jakiegoś działania algebraicznego, więc czymś jest, a na pewno jest elementem.

Ok, jak policzyć ilość tych układów w przypadku ilości elementów o wartości cztery ? Można to zrobić na siłę, układając sobie te układy. Zauważono jednak że przy tego rodzaju zapytania odpowiedź można znaleźć za pomocą pewnego wzoru, który to wylicza szybciej. Wzór polega na wymnożeniu pozycji elementów, zaczynając od jedynki, czyli pierwszego elementu zbioru kończąc na ostatnim. Pozycje elementów liczymy od jedynki. Wzór na silnie to jest \(\displaystyle{ 1 cdot 2 cdot 3}\) razy numer ostatniego elementu, nie \(\displaystyle{ 0 cdot 1 cdot 2 cdot 3}\) itd. Wzór ten jednoznacznie jakby pokazuje że permutacji możemy dokonać tylko i wyłącznie na istniejących elementach, co jest intuicyjnie słuszne.

Jeśli by w worku znajdowało sie zero i jabłko to mamy wtedy dwa elementy i możemy im przyporządkować wtedy zgodnie z założeniami dwa numery jeden i dwa, bo gdyby zabrakło któregoś z tych przedmiotów to nie mógłby on mieć żadnego numeru, bo po prostu by go nie było, n ie mógłby on miec numeru zero, bo go tam nie ma, więc numeru porządkowego zero nie ma. I tak cztery elementy w zbiorze mogą mieć cztery numery porządkowe, czyli 1,2,3,4, nie jest tu istotna wartość elementów ani tym czym są a przypisanie numerów porządkowych może być umowne, ważne aby były po kolei.

Jeśli byśmy mieli dwa elementy w zbiorze to ilość tych układów wyliczamy \(\displaystyle{ 1 cdot 2}\), co równa się 2 a zapisuje jako \(\displaystyle{ 2!}\). Przy trzech elementach będzie to \(\displaystyle{ 1 cdot 2 cdot 3}\) czyli \(\displaystyle{ 3!}\). I przy czterech elementach, ilość układów obliczymy za pomocą wymnożenia kolejnych czterech pozycji.

Po co ten wywód ? Zaintrygowało mnie pytanie dlaczego silnia z zera równa sie jeden ? Różne czytałem odpowiedzi, ale prawie żadne, które by to tłumaczyło w prosty sposób, bo jest to przecież jakaś podstawa i w prosty sposób powinna byc wytłumaczona.
Wynik silni nazwano wartością permutacji, czyli odpowiedzią na ile sposobów możemy wyciągnąć wszystkie elementy ze zbioru.

Zero możemy wyciągnąć na jeden możliwy sposób. Jeśli w zbiorze będzie jedynka to ją tez możemy wyciągnąć na jeden możliwy sposób, jeśli będzie tylko dwójka to tez na jeden możliwy sposób, bo w zbiorze będzie zawsze jeden element, który można wyciągnąć na jeden możliwy sposób. Nie ważne jakie wartości maja elementy, albo czym są ważne, że w zbiorze coś jest co jest elementem. Zero może być elementem. Tak więc według mnie zapis 0! nie jest prawidłowy, bo sugerowałby pusty zbiór a nie ilość elementów a przecież wzór silni bierze właśnie tą wartość ilości elementów w zbiorze.

Albo to źle jest zapisane, albo nie ma zbiorów pustych. I dla mnie to by było logiczne jeśli tworzymy jakiś zbiór to nie może być on pusty, bo inaczej byśmy go nie mogli zdefiniować. Zbiory są elementami czegoś a nie wartościami a więc coś tam zawsze musi być. To tak jak z dzieleniem przez zero, nie ma go, bo twierdzi nieprawdziwość.

Zaintrygował mnie ten post:
369519.htm
czego wynikiem jest mój post, w którym jeden z forumowiczów zadał w dyskusji pewne pytania a zwłaszcza drugie.

1. W matematyce każde założenie się z czegoś bierze. Musi mieć jakąś konkretną przyczynę.
2. Skąd wiadomo że zbiór pusty można w ogóle spermutować ?
3. Żeby wyrażenie miało sens ?

Permutacją nazwano ilość możliwych wszystkich układów z elementów będących w zbiorze. Jeśli zbiór jest pusty to nie ma w nim elementów a więc nie możemy zastosować silni. Może nie być zbioru, ale nie może nie być elementów w zbiorze bo wówczas nie może być on zbiorem. Nie jest on zerem, po prostu nie istnieje. Można wykonywać działania na zbiorach jako elementach innych zbiorów, ale nie da się wykonać działania na elementach nie istniejących bo nie mogą one stanowić żadnego zbioru.

Jeszcze raz na koniec zero w zbiorze możemy spermutować na jeden możliwy sposób 1!, bo jest jedynym elementem zbioru o numerze porządkowym 1. Pustego zbioru nie możemy spermutować, bo nie ma w nim żadnych elementów, nie możemy dokonać permutacji na czymś czego nie ma a zatem nie możemy zastosować wzoru na silnię, który odwołuje sie tylko do kolejności elementów. Albo definicja silni jest zła, albo puste zbiory nie są zbiorami.

Prosiłbym o prosta formę odpowiedzi o używanie prostej matematyki, najprostszej jeśli to jest możliwe, bez zaawansowanych wzorów, tak jakby to były podstawy matematyki.

[Dreamer357]

Tak na logikę permutacja zbioru jednoelementowe go to \(\displaystyle{ a ^{n}}\).
Czyli dla \(\displaystyle{ n=0}\), bo silnia ma dla pierwszego elementu \(\displaystyle{ n=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ a ^{0}=1}\)
To raczej oczywiste.

[darek334]

To jest nieprawda co piszesz bo permutacja dla zbioru jednoelementowego to \(\displaystyle{ 1!}\). \(\displaystyle{ a ^{0}}\) nie jest wzorem na permutacje, to w ogóle coś innego i to że to wynosi jeden wzięło się z czego innego, nie wiem skąd takie przekonanie że to jest wzór na permutację.
\(\displaystyle{ a ^{0} = 1}\) wzięło się z tąd że: \(\displaystyle{ \frac{a ^{n}}{a ^{n}} = 1}\) Czyli : \(\displaystyle{ a ^{n-n}}\).

[Dreamer357]

Jak nie prawda
Wzór rekurencyjny na silnie masz jasny.
\(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ a=a \cdot b}\)
\(\displaystyle{ inc}\) \(\displaystyle{ b}\)
Teraz lepiej widać.

[darek334]

Rozumiem że \(\displaystyle{ a}\) to jest kolejność elementu ?-- 23 cze 2017, o 01:18 --Ok, jeśli przyjmiemy wzór na permutację elementów w zbiorze jako iloczyn kolejności elementów, to w przypadku jednego elementu aby zachować tą prawidłowość to musielibyśmy dopisać tam ukrytą jedynkę. Czyli \(\displaystyle{ 1! = 1 \cdot 1}\), i tak dalej : \(\displaystyle{ 2! = 1 \cdot 1 \cdot 2}\) itd. Zawsze numer elementu musi być równy lub większy od jedynki. W przypadku podejścia odwrotnego, czyli rekurencyjnego nie możemy złamać tej zasady a zatem nie może dojść do sytuacji \(\displaystyle{ 1 \cdot 0}\), bo wówczas od zera z powrotem, iteracyjnie nie powrócilibyśmy do poprzedniego stanu.

[Dreamer357]

Czyli pozostaje tylko liczenie wsteczne.
\(\displaystyle{ \frac{6}{3} =2}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1}=1}\)
Nic lepszego nie wymyślę

[yorgin]

Na problem odpowiedziałem wcześniej:

wiesz jak pokazać że 0!=1 ?

Co najmniej trzy sposoby:

1. Bo tak się to definiuje.

2. \(\displaystyle{ n!}\) to liczba permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego. Zbiór pusty \(\displaystyle{ (n=0)}\) można spermutować na jeden sposbów.

3. Wiadomo, że \(\displaystyle{ {n\choose k}=\frac{n!}{(n-k!)k!}}\). Stąd \(\displaystyle{ 1={1\choose 1}=\frac{1!}{1!0!}}\), a więc aby wyrażenie miało sens, \(\displaystyle{ 0!=1}\).

Teraz komentarz do OP:

Co to jest silnia ? Jest to wzór na permutację, czyli jest to wartość reprezentująca ilość wystąpienia czegoś powstałą na pewne zapytanie dotyczącą elementów zbioru.

[...]

Wynik silni nazwano wartością permutacji, czyli odpowiedzią na ile sposobów możemy wyciągnąć wszystkie elementy ze zbioru.

Nie. To jest tylko intepretacja silni.

Tak więc według mnie zapis 0! nie jest prawidłowy, bo sugerowałby pusty zbiór a nie ilość elementów a przecież wzór silni bierze właśnie tą wartość ilości elementów w zbiorze.

Zbiór pusty ma \(\displaystyle{ 0}\) elementów. W czym więc problem?

Albo to źle jest zapisane, albo nie ma zbiorów pustych. I dla mnie to by było logiczne jeśli tworzymy jakiś zbiór to nie może być on pusty, bo inaczej byśmy go nie mogli zdefiniować.

W matematyce czasem zakłada się aksjomatycznie istnienie tego zbioru, czasem definiuje jako zbiór, do którego nie należy żaden element.

Zbiory są elementami czegoś a nie wartościami a więc coś tam zawsze musi być. To tak jak z dzieleniem przez zero, nie ma go, bo twierdzi nieprawdziwość.

Ale to są zupełnie różne aspekty dwóch odrębnych teorii.

Permutacją nazwano ilość możliwych wszystkich układów z elementów będących w zbiorze. Jeśli zbiór jest pusty to nie ma w nim elementów a więc nie możemy zastosować silni.

Dlaczego nie możemy?

Może nie być zbioru, ale nie może nie być elementów w zbiorze bo wówczas nie może być on zbiorem.

Jeżeli w zbiorze nie ma żadnego elementu, to jest to zbiór pusty.

Nie jest on zerem, po prostu nie istnieje. Można wykonywać działania na zbiorach jako elementach innych zbiorów, ale nie da się wykonać działania na elementach nie istniejących bo nie mogą one stanowić żadnego zbioru.

Co to są elementy nieistniejące?

Pustego zbioru nie możemy spermutować, bo nie ma w nim żadnych elementów, nie możemy dokonać permutacji na czymś czego nie ma

Mylisz permutację intuicyjną z formalną jako odwzorowanie bijektywne między zbiorem a nim samym. Wtedy zbiór pusty posiada jedną permutację - \(\displaystyle{ f:\emptyset \to \emptyset}\).

a zatem nie możemy zastosować wzoru na silnię, który odwołuje sie tylko do kolejności elementów. Albo definicja silni jest zła, albo puste zbiory nie są zbiorami.

Definicja silni jest w porządku. Problemem jest jej kombinatoryczna interpretacja, która traktowana jako definicja przysparza sporo kłopotów.

[darek334]

Brawo ! Nie liczyłem a właściwie mogłem sobie tylko marzyć abys odpisał, osoba której odpowiedź w poprzednim poście zainspirowała mnie do napisania tego postu, widać czasami zdarza się coś niespotykanego !

Bardzo podobała mi się odpowiedź którą przytaczasz, tzn ta na trzy postawione punkty, jest ona logiczna i trzyma sie "kupy".

Do rzeczy na temat. Piszesz :

Zbiór pusty ma 0 elementów. W czym więc problem?

No właśnie tu jest największy problem. Co to jest permutacja na te pytanie przede wszystkim trzeba sobie odpowiedzieć oraz co to jest silnia, czyli jakby dowód na prawdziwość silni.
Permutacja - nazwanie wyniku pewnej operacji, w wyniku której dostajemy wynik, czyli jest to jakiś tam wynik. Czego wynik ? Wynik ilości kombinacji powstałej w wyniku pobierania elementów z jakiegoś zbioru. Bierzemy wszystkie elementy i sprawdzamy ile możliwych kombinacji powstanie. Proste. Te definicja albo jak zaraz napiszesz interpretacja definicji jest jednoznaczna. W matematyce jednoznaczność ma ogromne znaczenie aby dowody były jasne, logiczne a przede wszystkim prawdziwe i aby nikt nie mógł ich podważyć, jeśli podważy to znaczy że dowód jest nieprawdziwy, źródła szukamy w różnych miejscach albo w założeniach albo gdzie indziej. Mamy proste zadanie lub zapytanie ile kombinacji stworzymy z elementów będących w zbiorze, załóżmy że dotyczy ono rzeczywistości bo jednak matematyka jak każda nauka jest po to aby ta właśnie rzeczywistość wyjaśnić. Permutacja to rzeczywisty namacalny problem i zapytanie potrzebne w życiu i różnych sytuacjach nas otaczających, jest ono proste i klarowne. Mamy 10 samochodów w magazynie i mamy je pomalować na kilka dostępnych kolorów. Możemy to zrobić na kilka sposobów. Jest to namacalne i wykonalne a odpowiedź istnieje. Nie ma samochodów to nie możemy nic zrobić nie ma odpowiedzi. Tą odpowiedź tez BYNAJMNIEJ nie będzie jeden. Bo gdybyśmy tak odpowiedzieli to by znaczyło że jest tam jeden samochód a go nie ma !
Proste i niepodważalne ! A jeżeli ktoś twierdzi inaczej to jest to nieprawda.
Teraz stworzono wzór na permutację aby łatwo było wyliczyć tą permutację. Skąd on sie wziął i czy jest prawdziwy ?
Wziął się on z prostego rozumowania:
Mamy 5 elementów i musimy je wyciągać,
1 Pierwszy krok, pierwszy element możemy wziąć na pięć sposobów, bo tyle jest elementów w zbiorze, nie ma innej możliwości. czyli są to \(\displaystyle{ 1 \cdot 5}\) możliwości.
2 Drugi krok, każdy z pierwszych kroków rozgałęzia się na kolejne kroki i możemy w nim wziąć już kolejny element tylko na cztery możliwości, bo w zbiorze pozostały już tylko cztery elementy, czyli na 5 pierwszych możliwości przypadają teraz 4, a zatem jest ich \(\displaystyle{ 5 \cdot 4}\)
3. Kolejne kroki jak widac sa analogiczne, tak więc dochodzimy do ostatniego elementu który możemy juz tylko wziąć na jeden sposób !
A więc wszystkie utworzone kroki moją jedną możliwość a więc \(\displaystyle{ \cdot 1! \cdot 5!}\).
I tu się zatrzymujemy w naszym postępowaniu a właściwie wzorze. Bo czynność tą możemy przyporządkować do mnożenia jak widać :
\(\displaystyle{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)
Z tąd ten wzór, jak widać jest on prosty i intuicyjny i nie budzi sprzeczności. czyli \(\displaystyle{ 5!}\) to :
\(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}\).
Jedyne co możemy zrobić to wstawić jeszcze czynnik początkowy inicjujący, aby w przypadku jednego elementu nadal permutacja była wynikiem nazywanym iloczynem. Czyli:
\(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}\)

Widać że permutacji możemy tylko dokonać na istniejących elementach, bo mnożenie przez zero neguje elementy i cały proces wówczas nie miałby sensu.

Ok cały proces wywodu, którego mam nadzieję nikt nie zaneguje. Dalej.

Mylisz permutację intuicyjną z formalną jako odwzorowanie bijektywne między zbiorem a nim samym. Wtedy zbiór pusty posiada jedną permutację - f:emptyset o emptyset.

Myślę że tu jest problem, bo właśnie ta najczęściej powtarzająca się odpowiedź, wzbudziła nagle we mnie wątpliwość. Dlaczego, bo w tym momencie interpretujesz zbiór pusty jako ELEMENT. Ale żeby coś było elementem to musi być w zbiorze tak więc to podejście było by prawdziwe gdybyśmy rozpatrywali zbiory puste jako element innego zbioru a zatem w czym jest problem ? W punkcie widzenia, czyli w względności rozpatrywanego zadania.

W matematyce czasem zakłada się aksjomatycznie istnienie tego zbioru, czasem definiuje jako zbiór, do którego nie należy żaden element.

Ok, robi si e tak ale powinno to być zgodne z rzeczywistością, tutaj tworzy się abstrakcję która w moim przekonaniu nie jest zgodna ze wzorem na permutację i tego skąd on się wziął. Jeśli by teraz wziąć przykłady z rzeczywistości to nie ma on racji bytu. Tak jak podałem wcześniej w przykładzie z samochodami, bo nie wmówisz mi że jeśli w garażu nie ma żadnego samochodu to można wykonać permutację na samochodach i wynikiem będzie jedna możliwość. Jest to nieprawda nie da się pomalować ani jednego samochodu jeśli nie ma tam choć jednego samochodu, a garażu nie będę malował , bo nie jest to wynik naszego zadania. Ok puste zbiory jeśli by spojrzeć na nie z zewnątrz są pewnym elementem, ale tylko patrząc z zewnątrz a więc zmienia się wtedy punkt widzenia, a zatem i zmienia się sytuacja. Pusty zbiór może być wówczas utożsamiany z wartością zero, która z pewnego punktu widzenia jest wartością.

Na koniec, ważne do ustalenia kwestie, aby te wywody miały sens i do czegoś prowadziły tzn do jakiś wiążących wniosków, bo dalsza dyskusja nie będzie miała sensu :

1. Czy permutacja jest operacją tylko na elementach zbioru ?
2. Jeśli nie, to jak nazwać operację na tylko elementach zbiorów jaki jest na to wzór, tak żeby był zgodny z rzeczywistym zagadnieniem, np o samochodach ?

3. Jeśli na punkt pierwszy odpowiedź będzie nie, to jakim prawem zbiór pusty traktowany jest jako element ?

[AiDi]

Ok, robi si e tak ale powinno to być zgodne z rzeczywistością (...) Jeśli by teraz wziąć przykłady z rzeczywistości to nie ma on racji bytu.

1. Zdefiniuj "rzeczywistość".
2. Uzasadnij, że wszystko w matematyce musi być z nią zgodne.

Jak dla mnie to za dużo filozofujesz. A matematyka to nie filozofia. Np. tu:

Dlaczego, bo w tym momencie interpretujesz zbiór pusty jako ELEMENT

Co to ma niby znaczyć? Myślę, że dobrym pomysłem by było jakbyś przeczytał jakieś początkowe rozdziały jakiegoś skryptu z "podstaw matematyki".

[yorgin]

Zbiór pusty ma 0 elementów. W czym więc problem?

No właśnie tu jest największy problem. Co to jest permutacja na te pytanie przede wszystkim trzeba sobie odpowiedzieć oraz co to jest silnia, czyli jakby dowód na prawdziwość silni.

Nie ma czegoś takiego jak dowód na prawdziwość silni. Jest to najzwyczajniej operacja zwracająca liczbie inną, zdefiniowana prostym warunkiem rekurencyjnym.

Mylisz permutację intuicyjną z formalną jako odwzorowanie bijektywne między zbiorem a nim samym. Wtedy zbiór pusty posiada jedną permutację - f:emptyset o emptyset.

Myślę że tu jest problem, bo właśnie ta najczęściej powtarzająca się odpowiedź, wzbudziła nagle we mnie wątpliwość. Dlaczego, bo w tym momencie interpretujesz zbiór pusty jako ELEMENT.

Nie. Zbiór pusty interpretuję jako zbiór pusty. I rozważam funkcję, która taki zbiór przeprowdza w siebie. Jest dokładnie jedna taka funkcja.

Ok, robi si e tak ale powinno to być zgodne z rzeczywistością, tutaj tworzy się abstrakcję która w moim przekonaniu nie jest zgodna ze wzorem na permutację i tego skąd on się wziął.

Jak pisałem wcześniej, to nie wzór na permutacje jest definicją silni. Permutacje to tylko interpretacja kombinatoryczna silni.

bo nie wmówisz mi że jeśli w garażu nie ma żadnego samochodu to można wykonać permutację na samochodach i wynikiem będzie jedna możliwość. Jest to nieprawda nie da się pomalować ani jednego samochodu jeśli nie ma tam choć jednego samochodu, a garażu nie będę malował ,

A co ma malowanie samochodu do permutowania samochodów? Wcześniej popełniasz ten sam błąd, dlatego wspominam go w ostatnim wystąpieniu.

Ok puste zbiory jeśli by spojrzeć na nie z zewnątrz są pewnym elementem,

Elementem czego? Zbioru potęgowego owszem. Ale chyba chodzi Ci o coś innego, czego nie do końca rozumiem.

1. Czy permutacja jest operacją tylko na elementach zbioru ?

Tak. Każda permutacja zbioru \(\displaystyle{ X}\) to zwyczajnie odwzorowanie \(\displaystyle{ f:X\to X}\), które paruje elementy \(\displaystyle{ X}\) jeden do jednego. Niezrozumiałe może być jedynie to, co się dzieje dla \(\displaystyle{ X=\emptyset}\). Jest to odzwierciedlenie funkcji pustej, która jest dokładnie jedna.

Generalnie podsumuję swoją wypowiedź tak:
Definicja silni jest:
\(\displaystyle{ n!=\begin{cases} 1 & n=0\\ n\cdot (n-1)! & n>0\end{cases}}\)
i tyle. Jej interpretacją kombinatoryczną są permutacje. Jedyny problem to permutacje zbioru pustego (\(\displaystyle{ n=0}\)), ale tutaj trzeba nieco teorii mnogości - jedyności funkcji "pustej".

Nie ma więc sensu kłócić się o to, czy \(\displaystyle{ 0!=1}\), bo to wynika z definicji operacji.

[darek334]

Witam,

dziękuję za konkretną i prosta odpowiedź. do rzeczy :

Nie ma więc sensu kłócić się o to, czy 0!=1, bo to wynika z definicji operacji.

Nie wiem czemu masz takie odczucie, dyskusja nie jest kłótnią, jakby tak było to nie rozwijała by sie nauka. Sens dla mnie ma jak najbardziej i coraz większy.

Nie ma czegoś takiego jak dowód na prawdziwość silni. Jest to najzwyczajniej operacja zwracająca liczbie inną, zdefiniowana prostym warunkiem rekurencyjnym.

nie zgadzam się z tym, musi być tak jak sa dowody na istnienie liczb niewymiernych itp, skąd wiadomo że wymnażając wszystkie kolejności elementów ze zbioru otrzymamy w ten sposób ilość wszystkich możliwych kombinacji tych elementów, trzeba tego jakoś dowieść. Albo inaczej ja to neguję, udowodnij mi to że tak nie jest.

Nie. Zbiór pusty interpretuję jako zbiór pusty. I rozważam funkcję, która taki zbiór przeprowdza w siebie. Jest dokładnie jedna taka funkcja.

Tu jest właśnie istota tego zagadnienia:

...I rozważam funkcję, która taki zbiór przeprowdza w siebie...

Czyli nadal interpretujesz zbiór jako element, już któryś raz to tobie wskazałem, takim podejściem udowadniasz mi że mam rację.
Skoro wykonujesz na zbiorze jakąs operacje to jest on elementem tej operacji.
właśnie tu jest największy problem :

Tak. Każda permutacja zbioru X to zwyczajnie odwzorowanie f:X o X, które paruje elementy X jeden do jednego. Niezrozumiałe może być jedynie to, co się dzieje dla X=emptyset. Jest to odzwierciedlenie funkcji pustej, która jest dokładnie jedna.

Operacja na zbiorze może być nazwana odzwierciedleniem tego zbioru i może być to wykonane za pomocą jakichś funkcji. Staje się to możliwe, bo posiada to wówczas punkt widzenia, tzn jest względne i ma obserwatora. Zbiór pusty ma wówczas konkretną i namacalną wartość, ZERO. Analogiczną sytuacją jest operacja na elementach zbioru, ale zmieniając położenie obserwatora a zatem punkt widzenia, czyli wychodząc poza zbiór, zmieniamy cały okład i zagadnienie.
Błędnie według mnie rozwinięto permutację jako odzwierciedlenie zbioru. Pewnie dlatego, bo powstał problem pustego zbioru. Jak dla mnie jest to błędne założenie i tworzy znów (jak to często niepotrzebnie w nauce jest spotykane) nieprawdziwą abstrakcyjną sytuację.
Permutację odnosi się do elementów zbioru, bo na nich tylko i wyłącznie dokonujemy jakiejś operacji.
Odzwierciedlenie zbioru to operacja na zbiorze, bo zmienia się punkt widzenia w którym to zbiór staje się elementem tej operacji a zatem musi być zawarty też w pewnym zbiorze i z tego punktu widzenia można go jakoś odzwierciedlić.
Nie zaprzeczysz chyba temu ?

Jak wszystko w nauce, teorie, twierdzenia , powstają po to, aby wyjaśnić rzeczywistość, taki jest ich główny cel. Tworzenie nieprawdziwych teorii nie odzwierciedla tej rzeczywistości poprawnie. Zaprzecza temu podejściu i doprowadza co jest często spotykane do niepotrzebnego zapętlenia, w abstrakcyjnym świecie teorii opartych na tych teoriach. Ktoś może twierdzić że istnieje 124,34 wymiarów czasu i przestrzeni i budować niekończące się dyrdymały, po co ? Bo nie można tego obalić ?
Według mnie jeśli chodzi o peremutację zerowego elementu to powinna ona równać sie zero, czyli brak możliwości o wartości zero.
Podałem Ci realny przykład z samochodami, skoro on do ciebie nie przemawia, to może drugi realniejszy przykład, z programowania. Mamy tablicę w jakimś tam języku a więc może ona być zbiorem.

Wytłumacz mi proszę dlaczego każdy komputer na świecie w przypadku w którym ma wskazać element w tablicy, która jest pusta, pokazuje nie jeden tylko zero albo NULL ?. Gdyby pokazał jeden to by znaczyło że jest tam jakaś wartość a tak nie jest. Według was matematyków powinno być przecież jeden \(\displaystyle{ 1}\) . Więc podchodząc do tego problemu czysto matematycznie czemu wynik jest inny ? Pokazuje NULL bo wylicza że nie ma możliwości wskazania żadnego elementu a więc otrzymuje zero elementów i nie może go wyświetlić na ekranie, koniec i kropka.

[AiDi]

Jak wszystko w nauce, teorie, twierdzenia , znajdowanie odpowiedzi na różne zagadnienia jest po to aby wyjaśnić pewną rzeczywistość a najbardziej naukowcom zależy na wytłumaczeniu realnej rzeczywistości

Ale Ty mówisz tutaj o naukach przyrodniczych, a nie ogólnie o matematyce i matematykach.

EDIT: Widzę, że zedytowałeś:

Tworzenie nieprawdziwych teorii nie odzwierciedla tej rzeczywistości poprawnie. Zaprzecza temu podejściu i doprowadza co jest często spotykane do niepotrzebnego zapętlenia, w abstrakcyjnym świecie teorii opartych na tych teoriach.

ale to i tak nic nie zmienia. Poza tym w kontekście nauk przyrodniczych źle używasz słowa "teoria". Tak jak większość naukowców to słowo rozumie, to nie ma czegoś takiego jak "nieprawdziwa teoria", bo jeśli coś jest nieprawdziwe to nie dostanie w ogóle łatki "teorii". Nie licząc "teorii" strun, ale to osobna kwestia. Tak się już po prostu przyjęło te hipotetyczne modele nazywać...

nie po to aby budować abstrakcyjne problemy

Idź do biblioteki, weź parę bardziej zaawansowanych matematycznych podręczników czy monografii i je przejrzyj. Bo to co piszesz świadczy o tym, że chyba nie wiesz czym się matematycy zajmują. Łącząc to z tym, że piszesz 'pouczającym' tonem do osoby, która jest matematykiem z wykształcenia... Jak idziesz do lekarza to też z nim dyskutujesz w taki sposób?

nie zgadzam się z tym, musi być tak jak sa dowody na istnienie liczb niewymiernych

Nie odróżniasz definicji od twierdzeń. W kwestii definicji uzasadnia się jedynie to, że mają sens. Taka jest definicja silni:
\(\displaystyle{ n!=\begin{cases} 1 & n=0\\ n\cdot (n-1)! & n>0\end{cases}}\)
Ta definicja ma sens, gdyż wszystkie określone tu działania (czyli de facto mnożenie liczb naturalnych) są dobrze zdefiniowane. I koniec. Nie ma tu czego dowodzić, bo to nie twierdzenie. Cała reszta, nad którą sobie filozofujesz to interpretacja kombinatoryczna z lekką nutą teorii mnogości. I z tą nutą masz problemy, bo nie do końca rozumiesz definicji funkcji oraz czym jest zbiór pusty i jak on się w tę definicję wpisuje. Przeczytaj sobie np. to:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_pusta

Permutacja to z definicji bijekcja skończonego zbioru na siebie. W linku wyżej masz napisane, że funkcja pusta \(\displaystyle{ f:\emptyset\rightarrow\emptyset}\) jest bijekcją, a zatem z definicji permutacją. Funkcja ta jest jedna. Jest to treść początkowych wykładów z podstaw teorii mnogości. Jeśli weźmiemy zbiór, który nie jest pusty i ma \(\displaystyle{ n}\) elementów, to można udowodnić, że wszystkich bijekcji tego zbioru na siebie jest \(\displaystyle{ n!}\). Mając w głowie definicję silni i wiedząc, że
1. zbiór pusty ma \(\displaystyle{ 0}\) elementów,
2. jest dokładnie jedna bijekcja \(\displaystyle{ \emptyset}\) na siebie,
można powiedzieć "AHA! ładnie się jedno z drugim ze sobą zgrywa: dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\) liczba permutacji (czyli bijekcji) zbiorów \(\displaystyle{ X}\) o mocy \(\displaystyle{ n}\) jest równa \(\displaystyle{ n!}\)".

Tyle z matematyki, cała reszta to jak mówiłem filozofowanie. Możesz sobie oczywiście zrobić swoją matematykę, w której inaczej zdefiniujesz silnię i permutacje, tylko po co?

[darek334]

Powiem tyle Twoja odpowiedź nie wnosi nic nowego. A odnoszenie się moje do mojego tonu i dyskutowanie nad tym niepotrzebnie gmatwało by i tak trudny jak się okazuje temat. Więc prosiłbym o nie rozwlekanie tematu o inne tematy, które jak w tym przypadku, oparte są poza tym na złych wnioskach. To jest dyskusja naukowa, jak sadze a nie agresywna kłótnia, zarzucając mi to, właśnie Ty wprowadzasz tu ten element, bo mi coś zarzucasz. Prosiłbym o nie zamieszczanie postów na siłę, to jest bardzo ważne. Jeśli nic nowego nie możesz tutaj wnieść to proszę Cię abyś tak to zostawił.
Nie odpowiedziałeś na ostatnie pytanie jeśli już. Prosiłbym o jak najprostszą matematykę.
Nie neguję wzoru na silnie, neguję rozszerzenie permutacji na traktowanie zbioru jako elementu w tej odpowiedzi którą nazwano permutacją, z powodu zmiany punktu widzenia.
Wzór który przytoczyłeś nie znajduje prawidłowej odpowiedzi na przytoczoną tu przeze mnie sytuację, a więc nie mogę go przyjąć, mimo że jak podkreślę jeszcze raz zakłada to co zakłada i nie ma w nim sprzeczności, a więc może sobie istnieć, tylko nijak ma się do rzeczywistości, którą wskazałem.

[AiDi]

neguję rozszerzenie permutacji na traktowanie zbioru jako elementu w tej odpowiedzi którą nazwano permutacją, z powodu zmiany punktu widzenia.

Przepraszam, ale to zdanie w ogóle nie jest po polsku. To jakiś zlepek słów, który ma filozoficzne, a nie matematyczne naleciałości. W kwestii permutacji jest to:

Przeczytaj sobie np. to:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_pusta

Permutacja to z definicji bijekcja skończonego zbioru na siebie. W linku wyżej masz napisane, że funkcja pusta \(\displaystyle{ f:\emptyset\rightarrow\emptyset}\) jest bijekcją, a zatem z definicji permutacją. Funkcja ta jest jedna. Jest to treść początkowych wykładów z podstaw teorii mnogości. Jeśli weźmiemy zbiór, który nie jest pusty i ma \(\displaystyle{ n}\) elementów, to można udowodnić, że wszystkich bijekcji tego zbioru na siebie jest \(\displaystyle{ n!}\). Mając w głowie definicję silni i wiedząc, że
1. zbiór pusty ma \(\displaystyle{ 0}\) elementów,
2. jest dokładnie jedna bijekcja \(\displaystyle{ \emptyset}\) na siebie,
można powiedzieć "AHA! ładnie się jedno z drugim ze sobą zgrywa: dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\) liczba permutacji (czyli bijekcji) zbiorów \(\displaystyle{ X}\) o mocy \(\displaystyle{ n}\) jest równa \(\displaystyle{ n!}\)".

Twój problem chyba polega na tym, że zwykłą szkolną interpretację permutacji bierzesz za definicję. Interpretacja ta jest dobra dla \(\displaystyle{ n\neq0}\) ale sypie się dla \(\displaystyle{ n=0}\). Natomiast definicja permutacji pozostaje niezmieniona i działa także dla \(\displaystyle{ n=0}\).

[darek334]

W modelu zapytanie - odpowiedź.
Permutacja pierwotnie oznaczała wszystkie możliwości z elementów zbioru, takie było jej założenie. Czyli jest to odpowiedź na pewne zapytanie i nazwa tej odpowiedzi to -Permutacja. Teraz jak się okazuje tak nie jest, bo rozszerzono to na cały zbiór jako element. Może inaczej skoro Permutacja nie jest tym o czym napisałem powyżej to jak nazywa się odpowiedź na zapytanie o wszystkie kombinacje elementów danego zbioru ?